本文基於《數字影象處理》（岡薩雷斯第三版）的原網站的證明並添加了一點自己的理解，如果想要獲取作者的證明原始檔案請訪問這裡。

RGB轉換到HSI的幾何方法公式

假設RGB模型的R,G,B$R,G,B$值的取值範圍為[0,1]$[0,1]$。
HSI模型的三個分量：強度(I$I$)，色調(H$H$)，飽和度(S$S$)的計算公式如下：

I=13(R+G+B)$$I=\frac{1}{3}(R+G+B)$$
S=1−3[min(R,G,B)](R+G+B)$$S=1-\frac{3[min(R,G,B)]}{(R+G+B)}$$
H={θ,360−θ,B≤GB>G$$H=\{\begin{array}{ll}\theta ,& B\le G\\ 360-\theta ,& B>G\end{array}$$
式中：
θ=arccos{12[

(R−G)+(R−B)][(R−G)2+(R−B)(G−B)]12}$$\theta =arccos\{\frac{\frac{1}{2}[(R-G)+(R-B)]}{[(R-G{)}^2+(R-B)(G-B){]}^{\frac{1}{2}}}\}$$

證明

HSI模型採用三稜錐還是圓錐或者圓柱都沒有影響，因為它們之間可以直接相互對映，所以三者是等價的。這裡用三角形來證明。
假設RGB值已經歸一化。歸一化方法為：

r=RR+G+B（1）$$r=\frac{R}{R+G+B}（1）$$
g=GR+G+B（2）$$g=\frac{G}{R+G+B}（2）$$
b=BR+G+B（3）$$b=\frac{B}{R+G+B}（3）$$
即求出各個基色的強度所佔的比例。注意到r,g,b$r,g,b$實際上代表了各個三原色的強度佔總體的比例，所以顯然滿足如下條件:

r+g+b=1$$r+g+b=1$$


另外仔細觀察上圖中的正三稜錐上的面PBPGPR$P_B{P}_G{P}_R$，該平面上的任意一點都代表了R$R$值G$G$值B$B$值滿足比例條件的色點。比如該平面上的點(0.5,0.2,0.3)$(0.5,0.2,0.3)$代表的所R:G:B=0.5:0.2:0.3$R:G:B=0.5:0.2:0.3$的點。
另外給出幾條假設和顯然的前提條件：
（1）點w$w$的座標是(13,13,13)$(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$，因為正三角形。
（2）設三角形PBPGPR$P_B{P}_G{P}_R$上點的座標為(r,g,b)$(r,g,b)$。
（3）設連線座標原點和W的向量為&w&，同樣的有p,pR,pB,pR$p,p_R,p_B,p_R$

。
（4）圖中的直線