回憶一下，對於m的所有值，級數

1+m+m22!+m33!+⋯=∑x=0∞mxx!

收斂到em。考慮函式

p(x)={mxe−mx!0x=0,1,2,…elsewhere

其中m>0。因為m>0，所以p(x)≥0且

∑xp(x)=∑x=0∞mxe−mx!=e−m∑0∞mxx!=e−mem=1

即，p(x)滿足成為離散隨機變數pmf的條件。有形如p(x)pmf的隨機變數滿足引數為m的泊松分佈，這樣的p(x)稱為引數為m的泊松pmf。

注1：經驗表明泊松分佈在許多應用中能得到滿意的結果。例如令隨機變數X表示放射性物質在規定的時間間隔內在規定的區域內發射的α粒子總數，對於何時的m值，會發現X

滿足泊松分佈。再有令X表示製成品的產品數，像冰箱門，在測試了許多門後，對於合適的m值，我們發現X滿足泊松分佈。單位時間內交通事故的總數也經常假設為滿足泊松分佈的隨機變數。我們可以將這些案例都看成一個過程，該過程在固定的間隔(時間或空間或其他)內產生一些變化，如果增過程導致泊松分佈，那麼該過程稱為泊松分佈，接下來列舉一些確保為泊松過程的假設。

令g(x,w)表示在每個長度為w的間隔內x變化量的概率，進一步令符號o(h)表示使得limh→0[o(h)/h]=0的任意函式；例如h2=o(h),o(h)+o(h)=o(h)。泊松假定如下：

1. g(1,h)=λh+o(h)，其中λ是正常數且h>0。
2. ∑
   ∞x=2g(x,h)=o(h)。
3. 不重疊區域的變化量是獨立的。

假設1,3說明在短區間h中一個變化量的概率與其他不重疊區間的變化是獨立的且近似與區間長度成比例。假設2的實值為在同樣短的區間h內兩個或更多變化量的概率基本等於零。如果x=0,我們取g(0,0)=1。根據假設1,2，在區間h 內至少一個變化量的概率為λh+o(h)+o(h)=λh+o(h)，從而在區間h內零變化量的概率為1−λh−o(h)，因此在區間w+h內零變化量的概率g(0,w+h)等於區間w內零變化量的概率g(0,w)與不重疊區間h內零變化量的概率[1−λh−