分拆數

在將分拆數之前先介紹一點五邊形數

1. 五邊形數是能排成五邊形的多邊形數。 

第n個五邊形數公式：p(n)=(3*n^2-n)/2

前幾個五邊形數：1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001 .........

2. 廣義五邊形數：

n的取值0,1,-1,2,-2,3,-3.......

前幾個廣義五邊形數：0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330......

3. 中心五邊形數：

4.中心六邊形數

中心六邊形數跟廣義五邊形數有較大的關係，見圖

(相鄰兩個廣義五邊形數之和)

5. 五邊形數測試

利用以下的公式可以測試一個正整數x是否是五邊形數（此處不考慮廣義五邊形數）：

若n是自然數，則x是五邊形數，而且恰為第n個五邊形數。

若n不是自然數，則x不是五邊形數。

進入正題：分拆數

將一個數用一個或多個正整數的無序和來表示

例如4的分拆有5種：4 , 3+1 , 2+2 , 2+1+1 , 1+1+1+1

1. 限制分拆

給一些分拆加限制條件。例如8的分拆有22種，

其中分拆的數中全部都是奇數的有6

同樣，若要求8分拆的數中是兩兩不同的也有6種：8, 7+1, 6+2, 5+3, 5+2+1, 4+3+1

一些有關限制分拆的結論：

·n的分拆數中最大部分為m的個數=把n分拆成m部分的個數

如圖，左邊最大部分m=3，等於把n拆成3部分(右圖)   把圖轉置即可

·n的分拆數中每一部分都小於等於m的個數=把n分成m份或更小

·n的分拆數中每部分的數都相等的個數=n 的因子個數

Eg. 6=2+2+2, 6=3+3,6=1+1+1+1+1+1

·n的分拆數中每部分都是

 Eg. 6=1+1+1+1+1+1, 6=1+1+1+1+2, 6=1+1+2+2, 6=2+2+2

·n的分拆數中每部分都是1或2或3(或者把n分拆成1或2或3部分)的個數=(n+3)^2/12;

2. 生成函式

因為 ，右邊的表示式等於乘積(母函式)

Pn 等於方程n=a1+2*a2+3*a3+...+n*an 的非負整數解a1,a2...an 的個數。

若是用母函式的方法去做，n很大不容易解出來，繼續往下看

定義P(k,n)為：將n表示成>=k 的數之和。Eg P(3,6): 6=3+3 

1) 當最小的數為k時，p(k,n) = p(k,n-k)。即在n-k表示成>=k的數之和的情況下再加入一個k，情況還是不變

2) 當最小的數>k時，則至少最小的數為k+1，p(k,n)=p(k+1,n);

所以p(k,n)=p(k,n-k)+p(k+1,n)。k>n 時，p(k,n)=0,p(n,n)=1;

  eg： p(9)=p(1,8)+p(2,7)+p(3,6)+p(4,5);

得到下表：

前幾個分拆數1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42 ,56,77,101,135......

如果是按p(k,n)=p(k+1,n)+p(k,n-k) 來算，複雜度仍是0(n^2),往下看

右邊的分母是尤拉函式，可寫成

 可以發現等式右邊x的指數為擴充套件五邊形數,可根據之前介紹的擴充套件五邊形公式算得p(n)=(3*n^2-n)/2，係數符號為(-1)^(m+1)

於是 p(k) = p(k − 1) + p(k − 2) − p(k − 5) − p(k − 7) + p(k − 12) + p(k − 15)  − p(k − 22) − ... 

Eg p(10)=p(9)+p(8)-p(5)-p(3)。複雜度降低了

/*

總結：

五邊形數：0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35....

對應下標：0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 , 5.....

所以 可以在O(N^1.5)的時間內求出p(1),p(2),...p(n)。

*/

Hdu 4658 要求拆分的數中每個數出現的次數不能大於等於k次，則

已經求得，現在看Q(x^k)會怎麼樣

例如，當n=8，k=4時

滿足指數為8的乘積之和為：

所以將8拆分的數中每個數的個數小於4的有16個，分別為

8,1+7,1+1+6,1+1+1+5,6+2,1+5+2,1+1+4+2,1+1+1+3+2,4+2+2,1+3+2+2,1+1+2+2+2,1+1+3+3,1+4+3,5+3,2+3+3,4+4

hdu 4651

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef __int64 LL;
const int maxn=100010;
const LL MOD=1000000007;
LL dp[maxn];
LL Five(LL x)
{
    LL ans=3*x*x-x;
    return ans/2;
}
void _init()
{
    dp[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
    {
        for(int j=1;;j++)
        {
            LL k=Five(j);//獲取五邊形數
            if(k<=i)
            {
                if(j%2==0)//判斷奇偶從而判斷係數為正還是為負
                    dp[i]=(dp[i]-dp[i-k]);
                else
                    dp[i]=(dp[i]+dp[i-k]);
                if(dp[i]>=MOD) dp[i]%=MOD;
                if(dp[i]<0) dp[i]+=MOD;
                k=Five(-1*j);
                if(k<=i)
                {
                    if(j%2==0)
                        dp[i]=(dp[i]-dp[i-k]);
                    else
                        dp[i]=(dp[i]+dp[i-k]);
                    if(dp[i]>=MOD) dp[i]%=MOD;
                     if(dp[i]<0) dp[i]+=MOD;
                }
                else
                    break;
            }
            else
                break;
        }
    }
}
int main()
{
    _init();
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%I64d\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}

hdu 4658

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef __int64 LL;
const int Maxn=100010;
const LL MOD=1000000007;
LL Q[Maxn],P[Maxn];
LL GetQ(LL x)
{
    LL ans=(LL)x*x*3-x;
    return (ans/2)%MOD;
}
void _init()
{
    Q[0]=0;
    for(int i=1;i<Maxn;i++)
    {
        if(i&1) Q[i]=GetQ(i/2+1);
        else Q[i]=GetQ(i/2*(-1));
    }
    P[0]=P[1]=1;
    for(int i=2;i<Maxn;i++)
    {
        for(int j=1;;j++)
        {
            if(Q[j]>i) break;
            int t=j;
            if(t&1) t=t/2+1;
            else t=t/2;
            if(t&1)
                P[i]=(P[i]+P[i-Q[j]]);
            else
                P[i]=(P[i]-P[i-Q[j]]);
            if(P[i]>=MOD) P[i]%=MOD;
            if(P[i]<0) P[i]+=MOD;
        }
    }
}
void solved(LL n,LL k)
{
    LL ans=0;
    for(int i=0;;i++)
    {
        if(Q[i]*k>n) break;
        int t=i;
        if(t&1) t=t/2+1;
        else t=t/2;
        if(t&1) ans=(ans-P[n-Q[i]*k]);
        else ans=(ans+P[n-Q[i]*k]);
        if(ans>=MOD) ans%=MOD;
        if(ans<0) ans+=MOD;
    }
    printf("%I64d\n",ans);
}
int main()
{
    _init();
    int T;
    LL n,k;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d%I64d",&n,&k);
        solved(n,k);
    }
    return 0;
}