我們已經學習了有限區間上的積分，但對於無窮的情況和區間上有奇點的情況仍無法理解。這就需要無窮積分和瑕積分來處理了，它們看起來十分有趣。

增長和衰減速率

　　通過上一章的內容，我們已經可以做出一些總結，在洛必達法則中，如果f(x) << g(x)且f,g > 0，那麼當x→∞時，f(x)/g(x)→0；如果f(x) >> g(x) 且f,g > 0，那麼當x→∞時，f(x)/g(x)→∞

反常積分

收斂和發散

　　反常積分是這樣定義的：

　　從定義來看，也就是正常積分的上限N趨於∞。如果極限存在，它就是收斂的，否則就是發散的。

　　積分表示面積，在收斂的情況下，面積是有限的，如下圖所示，面積最終將趨於定值：

　　在發散的情況下，面積是無限的，比如一條與x軸平行的直線。

計算反常積分

　　示例1：

　　也可以採用一種更簡短的寫法：

　　示例2：

　　在上限是∞的時候，1/x的積分是發散的。這似乎與直覺相反，雖然被積函式f(x) = 1/x隨著x的遞增而減小，但它的衰減速度還不夠“快”，它仍然是發散的。

　　示例3：

　　到這裡就可以結束了，如果我們還想繼續探索一下，就要看看P的取值範圍。首先p的值不能為1，當p < 1時，

　　當p > 1時，

　　對於該例來說，p < 1時是發散的，p > 1時時收斂的。

審斂法

　　我們通常對反常積分是發散還是收斂很感興趣，然而計算極限往往令人沮喪，幸而我們瞭解增長和衰減速率，將被積函式替換成更快或更慢的函式，以此判斷反常積分的收斂性，這種方法就是審斂法。

　　審斂法大概是這樣描述的：

　　當x→∞且f,g ≥0時，

1. 如果f(x) ∽ g(x)，即f(x)/g(x)→1，則
2. 如果g(x) >> f(x)且是收斂的，則也是收斂的
3. 如果g(x) << f(x)且 是發散的，則也是發散的

示例1

　　判斷  的收斂性

　　如果求解原函式，就需要動用三角替換，經過一些列轉換後再求解極限，可能還要使用洛必達法則……現在嘗試使用審斂法判斷。

　　所以答案是發散的。

　　這裡需要注意的是，相似的反常積分的下限是1。這麼做有兩點原因，第一點當然是分母不能為0；第二點是，當上限為∞是，下限不構成影響結果的主要因素。在反常積分中，我們關注的是趨於∞的尾端。將下限寫為1僅僅是便於理解和書寫，實際上可以寫成大於0的任意數。

示例2

　　判斷 的收斂性

　　結果是收斂的。

示例3

　　判斷的收斂性 

　　結果是收斂的，其中用到的衰減率是 1 ≤ x ≤ x2，- x2 ≤ -x

瑕積分

定積分的奇點

　　這很簡單，

　　這個答案對嗎？

　　我們熟知1/x2的影象，積分表示面積，那麼它不可能是負數，一定是哪個環節出現了問題。

　　如果只計算x ≥ 0時的面積：

　　這個結果是無意義的，對1/x2在[0,1]上積分沒有任何意義。換個角度看這個問題，假設積分下限是是一個無限接近0的數值，結果趨近於∞，這個積分是發散的。

　　在這個例子中，將0稱為積分的奇點，對於不同的積分來說，奇點也不同。積分在奇點上是無意義的。

　　結論是，如果我們這計算時不注意積分的奇點，很容易導致計算錯誤。看來在今後的積分運算中又多了一條注意事項。

瑕積分的定義

　　將存在奇點的積分稱為瑕積分，用數學符號表示就是：

　　需要注意的是a是從右側接近0，這實際上和處理無窮的思路是一樣的。

　　就是一個典型的瑕積分，奇點是0，結果是∞。

收斂和發散

　　與反常積分一樣，我們關注的是瑕積分在奇點的收斂性。

　　當x→0+時：

　　當x→+∞時：

　　這裡用紅色的被積函式表示發散，綠色表示收斂，很容易對其進行計算。

　　可以通過影象直觀地瞭解一下：

示例

　　判斷的收斂性

　　看起來很簡單，

　　當x→∞時，1/x2的積分是收斂的，所有結論是收斂。

　　真相確實如此嗎？1/(x – 3)2的影象如下：

　　看起來沒那麼簡單了，答案應該是發散才對。問題的原因就在於積分存在奇點，就是x = 3。一個簡單的判定奇點判定法是當x = 3時被積函式沒有意義。

　　等式右側的第一個積分跨越了奇點，在奇點一節中提到過：積分在奇點上是無意義的，如果一個積分跨越了奇點，那麼這個積分就是發散的。所以最後答案是發散。

綜合示例

示例1

　　判斷積分的收斂性

　　其結果是在-1和1之間波動，所以題目積分是不可積的。

　　更簡單的方法是在0和∞之間，cosx的影象是來回擺動的，並未趨近於某個值，可以直接得出不可積的結論。

示例2

　　判斷積分的收斂性

　　積分的奇點是0，需要判斷這奇點上是否是收斂的。

　　先用分部積分求解，

　　極限是0·∞型，需要對其進行轉換以便使用洛必達法則，

　　題目積分在奇點收斂於0，最終收斂於-4。

示例3

　　判斷積分的收斂性

　　積分的奇點是0，積分跨越了奇點，需要分成兩半：

　　題目積分在奇點收斂於0，最終收斂於6。

示例4

　　曲線f(x) = 1/x繞x軸旋轉，求x在[1, ∞)上形成圖形的表面積和體積。

　　上面的計算通過弧長計算表面積（弧長和表面積可參見數學筆記25——弧長和曲面面積），再利用審斂法求反常積分。這看起來沒什麼問題，但是有些繁瑣。由於我們已經知道1/x在x→∞上是發散的，所以可以直接判斷表面積也發散。