類歐幾里得演算法（部分）

Preface

歐幾里得演算法，就是輾轉相除法。
gcd(i,j)=gcd(j,i%j)

定義

定義函式
F(a,b,c,n)=∑i=0n⌊ai+bc⌋

推導一波

顯然當a≥c或者b≥c時，F(a,b,c,n)=∑i=0n(⌊(amodc)i+(bmodc)c⌋+⌊ac⌋i+⌊bc⌋
=F(a%c,b%c,c,n)+⌊ac⌋(n+1)n/2+⌊bc⌋(n+1)

若當a,b均大於c怎麼辦？
據大佬說轉換成幾何意義就是一條直線與x軸、y軸以及x=n圍成的直角梯形中的整點個數

列舉縱線，
原式可化為
設m=⌊an+bc⌋就是上面式子i=n時的數

列舉每個數
F(a,b,c,n

)=∑i=0n∑j=1m[⌊ai+bc⌋≥j]

儘量化成j=0
=∑i=0n∑j=0m−1[⌊ai+bc⌋≥j+1]

大於等於下整除和不整除是一樣的
=∑i=0n∑j=0m−1[(ai+bc)≥j+1]

變換一下
=∑i=0n∑j=0m−1[(ai≥cj+c−b]

=∑i=0n∑j=0m−1[(i≥(cj+c−b)a]
注意這裡沒有取整

大於等於，因為左邊是整數
分子減1，符號變成大於
=∑i=0n∑j=0m−1[(i>(cj+c−b−1)a]

交換主體
=∑j=0m−1∑i=0n[(i>(cj+c−b−1)a]

然後裡面的sigma可以撤掉
=∑j=0m−1n−(cj+c−b−1

)a
=nm−∑j=0

類歐幾里得演算法（部分）

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