§11.9  正弦級數和餘弦級數

一、奇函式偶函式的傅立葉級數

一般說來，一個函式的傅立葉級數既含有正弦項，又含有餘弦項。但是，有些函式的傅立葉級數只含有正弦項或只含有餘弦項，究其原因，它與所給函式的奇偶性有關。

【定理】以為週期的奇函式展開成傅立葉級數時，它的傅立葉係數適合：

而以為週期的偶函式展開成傅立葉級數時，它的傅立葉係數適合：

證 設是以為週期的偶函式，則，從而

又因是上的奇函式，故

類似地可證明定理的第二部分。

該定理告訴我們：

1、如果為奇函式，那麼它的傅立葉級數是隻含有正弦項，不含常數項和餘弦項的正弦級數

2、如果為偶函式，那麼它的傅立葉級數是隻含有常數項和餘弦項，不含正弦項的餘弦級數

【例1】設是週期為的周期函式，它在上的表示式為，將它展開成傅立葉級數。

解：函式的圖形如下：

是週期為的奇函式，因此

在點  不連續，據收斂定理，的傅立葉展開式為

二、函式展開成正弦級數或餘弦級數

如果僅給出函式在上的定義，如何將它展開成正弦級數或餘弦級數呢？

解決該問題的具體步驟如下：

1、在上重新定義新函式，且在上成為奇函式（或偶函式），這種定義的方式稱為是對的奇延拓（或偶延拓）。

2、將以為週期進行週期延拓，所得函式的傅立葉展開式必為正弦級數（或餘弦級數）。

3、據的傅立葉展開式的成立區間，限制屬於、、中的某一個，此時，這樣便得到了的正弦級數（或餘弦級數）。

【例2】將函式

解：對進行奇延拓，得函式

其傅立葉係數如下：

傅立葉級數為  ，據收斂定理有：

在處，它收斂於；

在處，它收斂於

；

在內，它收斂於。

故的傅立葉正弦級數展開式為

對進行偶延拓，可得函式

其傅立葉係數為

傅立葉級數為  ， 據收斂定理有：

在處，它收斂於

；

在內，它收斂於。

故的傅立葉餘弦級數展開式為

§11.10  週期為2L的周期函式的傅立葉級數

對於週期為的周期函式的傅立葉級數展開，根據已有的結論，藉助變數替換，可得到下面定理。

【定理】設週期為的周期函式滿足收斂定理的條件，則它的傅立葉級數展開式為

其中係數的計算式為

如果

其中係數  

如果為偶函式，則有

其中係數  

證：作變數替換，當時，，函式可重新表示成，從而是週期為的周期函式且滿足收斂定理的條件，因此，可以展開成為傅立葉級數

其傅立葉係數的計算表示式為

由於，，上式可分別改寫成

類似地，可以證明定理的其餘部分。

【例1】設是週期為的周期函式，它在上的表示式為

將它展開成傅立葉級數。

解：的圖象如下：

其傅立葉係數為

據收斂定理，有

因此，的傅立葉展開式為

這裡，

【例2】將函式展開成正弦級數和餘弦級數。

解：將作奇延拓，得到函式，且

再將以4為週期進行週期延拓，便可獲到一個以4為週期的周期函式，其圖象如下：

其傅立葉係數為

由於函式在處間斷，故的正弦級數展開式為

這裡：  

再將作偶延拓，得到函式，且

將以4為週期進行週期延拓，便可獲到一個以4為週期的周期函式，其圖象如下：

其傅立葉係數為

由於函式在上連續，故的餘弦級數展開式為

這裡：  

如果令，得

對定義在任意區間上的函式，若它滿足收斂定理所要求的條件，也可將它展開成傅立葉級數，其方法如下：

作變數替換 ，即 ，

當時，，將函式改寫成

則是定義在上，且滿足收斂定理條件的函式，從而可將其展開成傅立葉級數。

【例3】將函式展開成傅立葉級數。

解：作變數替換  ，當時，則 ，而

將以為週期進行週期延拓，可得到一個周期函式，其圖象如下：

其傅立葉係數為

顯然，點是函式的間斷點，函式在其它點均連續，故的傅立葉展開式為

將代入上式，得

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