哈夫曼編碼與哈夫曼樹
哈夫曼樹─即最優二叉樹，帶權路徑長度最小的二叉樹，經常應用於資料壓縮。 在計算機資訊處理中，“哈夫曼編碼”是一種一致性編碼法（又稱“熵編碼法”），用於資料的無損耗壓縮。這一術語是指使用一張特殊的編碼表將源字元（例如某檔案中的一個符號）進行編碼。這張編碼表的特殊之處在於，它是根據每一個源字元出現的估算概率而建立起來的（出現概率高的字元使用較短的編碼，反之出現概率低的則使用較長的編碼，這便使編碼之後的字串的平均期望長度降低，從而達到無失真壓縮資料的目的）。這種方法是由David.A.Huffman發展起來的。
樹的帶權路徑長度記為
WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)
，N個權值Wi(i=1,2,...n)構成一棵有N個葉結點的二叉樹，相應的葉結點的路徑長度為Li(i=1,2,...n)。可以證明哈夫曼樹的WPL是最小的。
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哈夫曼編碼步驟：
一、對給定的n個權值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}構成n棵二叉樹的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉樹Ti中只有一個權值為Wi的根結點，它的左右子樹均為空。（為方便在計算機上實現算 法，一般還要求以Ti的權值Wi的升序排列。）
二、在F中選取兩棵根結點權值最小的樹作為新構造的二叉樹的左右子樹，新二叉樹的根結點的權值為其左右子樹的根結點的權值之和。
三、從F中刪除這兩棵樹，並把這棵新的二叉樹同樣以升序排列加入到集合F中。
四、重複二和三兩步，直到集合F中只有一棵二叉樹為止。
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簡易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五個字元，出現的頻率（即權值）分別為5,4,3,2,1,那麼我們第一步先取兩個最小權值作為左右子樹構造一個新樹，即取1，2構成新樹，其結點為1+2=3，如圖：
虛線為新生成的結點，第二步再把新生成的權值為3的新樹升序方式放到剩下的集合中。1、2兩棵樹刪除，所以集合變成{5,4,3,3}，再根據第二步，取最小的兩個權值構成新樹，如圖：
集合變成{6,5,4}。再依次建立哈夫曼樹，取4和5，再取6和9，如下圖：
其中各個權值替換對應的字元即為下圖：
左子樹0 右子樹1.ABCDE一定是葉子結點，所對應的哈弗曼編碼就是從根節點“讀”下來。 所以各字元對應的編碼為：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010
哈夫曼編碼是一種無字首編碼。解碼時不會混淆。其主要應用在資料壓縮，加密解密等場合。
說到這裡我要插一句：
A,B,C,D,E五個字元，由於計算機只能識別0，1，所以可以用 0 1 10 11 100 來表示，然而僅僅這樣是不行的，並不能區分。
----我來舉個例子說明為什麼不能區分：隨便寫一段：111001011. 解碼可能就成為AAABBABAA。仔細想想應該就懂了。
所以，若要區分，可以使用定長操作碼，就是每條需要3位（ABCDE則對應000,001,010,011,100）。每個字元都需要3位這無疑是一種浪費（2^3=8，3位可以表示8種資料 ，還有3條沒有作用），如何進行優化呢？便有了哈夫曼編碼。
還是這道題，我們用數字對比一下哈夫曼編碼的作用。
上面算出來的結果是：ABCDE分別對應11,10,00,011,010.這是可以區分的。
----我同樣來舉個例子說明為什麼能區分：隨便寫一段：111001011。解碼就是：ABEA。這是必然的。
所以，我們不需要用每條3位去編碼了，我們來計算一下節省了多少位。
假如ABCDE是共有1000條指令，根據他們的權值（5，4，3，2，1）計算他們的頻率為（5/15，4/15，3/15，2/15，1/15）。
計算得在這1000條中， A大約有333條，B大約有266條，C大約有200條，D大約有133條，E大約有66條。（血崩！！我為什麼不找個好計算一點的例子
）
而上面剛求出的ABCDE所佔位數分別為（2，2，2，3，3），計算總位數為2*333＋2＊266+2*200+3*133+3*66=2195
看見了吧！ 2195<3000(3*1000) 效果還是很明顯滴～
C語言程式碼實現（程式碼來源於網路）：
/*-------------------------------------------------------------------------
* Name: 哈夫曼編碼原始碼。
* Date: 2011.04.16
* Author: Jeffrey Hill+Jezze(解碼部分)
* 在 Win-TC 下測試通過
* 實現過程：著先通過 HuffmanTree() 函式構造哈夫曼樹，然後在主函式 main()中
* 自底向上開始(也就是從陣列序號為零的結點開始)向上層層判斷，若在
* 父結點左側，則置碼為 0,若在右側,則置碼為 1。最後輸出生成的編碼。
*------------------------------------------------------------------------*/
#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAXBIT 100
#define MAXVALUE 10000
#define MAXLEAF 30
#define MAXNODE MAXLEAF*2 -1
typedef struct
{
int bit[MAXBIT];
int start;
} HCodeType; /* 編碼結構體 */
typedef struct
{
int weight;
int parent;
int lchild;
int rchild;
int value;
} HNodeType; /* 結點結構體 */
/* 構造一顆哈夫曼樹 */
void HuffmanTree (HNodeType HuffNode[MAXNODE], int n)
{
/* i、j： 迴圈變數，m1、m2：構造哈夫曼樹不同過程中兩個最小權值結點的權值，
x1、x2：構造哈夫曼樹不同過程中兩個最小權值結點在陣列中的序號。*/
int i, j, m1, m2, x1, x2;
/* 初始化存放哈夫曼樹陣列 HuffNode[] 中的結點 */
for (i=0; i<2*n-1; i++)
{
HuffNode[i].weight = 0;//權值
HuffNode[i].parent =-1;
HuffNode[i].lchild =-1;
HuffNode[i].rchild =-1;
HuffNode[i].value=i; //實際值，可根據情況替換為字母
} /* end for */
/* 輸入 n 個葉子結點的權值 */
for (i=0; i<n; i++)
{
printf ("Please input weight of leaf node %d: \n", i);
scanf ("%d", &HuffNode[i].weight);
} /* end for */
/* 迴圈構造 Huffman 樹 */
for (i=0; i<n-1; i++)
{
m1=m2=MAXVALUE; /* m1、m2中存放兩個無父結點且結點權值最小的兩個結點 */
x1=x2=0;
/* 找出所有結點中權值最小、無父結點的兩個結點，併合並之為一顆二叉樹 */
for (j=0; j<n+i; j++)
{
if (HuffNode[j].weight < m1 && HuffNode[j].parent==-1)
{
m2=m1;
x2=x1;
m1=HuffNode[j].weight;
x1=j;
}
else if (HuffNode[j].weight < m2 && HuffNode[j].parent==-1)
{
m2=HuffNode[j].weight;
x2=j;
}
} /* end for */
/* 設定找到的兩個子結點 x1、x2 的父結點資訊 */
HuffNode[x1].parent = n+i;
HuffNode[x2].parent = n+i;
HuffNode[n+i].weight = HuffNode[x1].weight + HuffNode[x2].weight;
HuffNode[n+i].lchild = x1;
HuffNode[n+i].rchild = x2;
printf ("x1.weight and x2.weight in round %d: %d, %d\n", i+1, HuffNode[x1].weight, HuffNode[x2].weight); /* 用於測試 */
printf ("\n");
} /* end for */
/* for(i=0;i<n+2;i++)
{
printf(" Parents:%d,lchild:%d,rchild:%d,value:%d,weight:%d\n",HuffNode[i].parent,HuffNode[i].lchild,HuffNode[i].rchild,HuffNode[i].value,HuffNode[i].weight);
}*///測試
} /* end HuffmanTree */
//解碼
void decodeing(char string[],HNodeType Buf[],int Num)
{
int i,tmp=0,code[1024];
int m=2*Num-1;
char *nump;
char num[1024];
for(i=0;i<strlen(string);i++)
{
if(string[i]=='0')
num[i]=0;
else
num[i]=1;
}
i=0;
nump=&num[0];
while(nump<(&num[strlen(string)]))
{tmp=m-1;
while((Buf[tmp].lchild!=-1)&&(Buf[tmp].rchild!=-1))
{
if(*nump==0)
{
tmp=Buf[tmp].lchild ;
}
else tmp=Buf[tmp].rchild;
nump++;
}
printf("%d",Buf[tmp].value);
}
}
int main(void)
{
HNodeType HuffNode[MAXNODE]; /* 定義一個結點結構體陣列 */
HCodeType HuffCode[MAXLEAF], cd; /* 定義一個編碼結構體陣列， 同時定義一個臨時變數來存放求解編碼時的資訊 */
int i, j, c, p, n;
char pp[100];
printf ("Please input n:\n");
scanf ("%d", &n);
HuffmanTree (HuffNode, n);
for (i=0; i < n; i++)
{
cd.start = n-1;
c = i;
p = HuffNode[c].parent;
while (p != -1) /* 父結點存在 */
{
if (HuffNode[p].lchild == c)
cd.bit[cd.start] = 0;
else
cd.bit[cd.start] = 1;
cd.start--; /* 求編碼的低一位 */
c=p;
p=HuffNode[c].parent; /* 設定下一迴圈條件 */
} /* end while */
/* 儲存求出的每個葉結點的哈夫曼編碼和編碼的起始位 */
for (j=cd.start+1; j<n; j++)
{ HuffCode[i].bit[j] = cd.bit[j];}
HuffCode[i].start = cd.start;
} /* end for */
/* 輸出已儲存好的所有存在編碼的哈夫曼編碼 */
for (i=0; i<n; i++)
{
printf ("%d 's Huffman code is: ", i);
for (j=HuffCode[i].start+1; j < n; j++)
{
printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);
}
printf(" start:%d",HuffCode[i].start);
printf ("\n");
}
/* for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<n;j++)
{
printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);
}
printf("\n");
}*/
printf("Decoding?Please Enter code:\n");
scanf("%s",&pp);
decodeing(pp,HuffNode,n);
getch();
return 0;
}