整除

整除的性質

設a, b是兩個整數， 並且b ≠ 0. 如果存在整數c， 使得 a = b * c ， 則稱a被b整除， 或者b整除a，記作b |a（這裡是a 被 b整除， a >= b）
此時又稱a是b的倍數， b是a的因子。如果b不整除a， 記作

整除基本定義

定義1.1：如果n被2除的餘數為 0， 則對於某個整數k， 有n = 2k， 我們稱n為偶數；而如果n被2除的餘數為1， 我們則對於某個整數k， 有n = 2k + 1， 我們稱n為奇數。
定義1.2 ：設a, b是兩個整數， 並且b ≠0， 則存在唯一的整數q和r， 使得：
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整除的性質

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整除的應用

整除的位數
斐波那契整除

gcd和lcm

基本定義

定義1.3： 設a和b是兩個整數， 如果d|a， 並且d|b， 那麼我們稱d是a與b的公因子。
定義1.4： 設a和b是兩個不全為0的整數， 稱a與b的公因子中最大的為a與b的最大公因子， 或最大公約數， 記作gcd（a， b）， 有時簡記為（a， b）
定義1.5： 設a和b是兩個非零證書， 稱a與b的最小正公倍數為a與b的最小公倍數， 記作lcm（a， b）， 有時簡記為[a, b]

基本運算性質

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關於gcd和lcm的運算

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gcd運算性質的證明

簡要證明：

我們之所以說上述的遞迴式成立，是因為m和n的任何公因子也必定是m和（n mod m）的公因子。
證明上述一句話是基於以下公式
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在這裡我們可以由此引入拓展歐幾里得定理

完整證明：

設 其中（a,b,q,r）∈Z，則：
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！證：只需證a與b、b與r有相同的公因子。
（1）.設d是a與b的公因子， 即（d|a）且（d|b）。我們注意到
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從而我們可以的得到如下的推導過程：
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這裡我們證明了在a|b 的情況下的正確定（就是在上面表示式中gcd（0，n）的正確性）
·
（2）.設d是b與r的公因子， 從而我們有如下推導：
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gcd和lcm演算法偽碼描述

while(max!= 0)
    min→temp
    max mod min→min
    temp→max
return <max>

例題

兩儀劍法