歐幾里得演算法：

輾轉相除計算兩個數的最大公約數，求gcd(a,b)。

證明：

設a=b∗p+q，則gcd(b,q)|b ，gcd(b,q)|a，故gcd(b,q)|gcd(a,b) 。
同樣q=a−b∗p，則gcd(a,b)|q，故gcd(a,b)|gcd(b,q).
可得gcd(a,b)=gcd(b,a,最終得到gcd(a,b)=gcd(c,0)=c

程式碼：

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

擴充套件歐幾里得演算法

存在整數對(x,y)使得ax+by=gcd(a,

b)

證明：

設a>b
當b=0時，a∗1+b∗0=a=gcd(a,b)，此時x=1,y=0
當b!=0時，設
a∗x1+b∗y1=gcd(a,b)
b∗x2+a%b∗y2=gcd(b,a%b)
由於gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，所以有a∗x1+b∗y1=b∗x2+a%b∗y2
將a%b=a−(a/b)∗b代入，
得到 a∗x1+b∗y1=a∗y2+b∗x2−(a/b)∗b∗y2
即 x1=y2,y1=x2−(a/b)∗y2
因此可以遞迴的定義exgcd，同樣b=0時遞迴結束。返回最大公約數。

程式碼：

int extgcd(int a, int b, int
 
 &x, int &y)
{
    int d = a;
    if(b != 0) {
        d  = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a/b) * x;
    }else {
        x = 1, y = 0;
    }
    return d;
}

應用：

求解不定方程：

若c%gcd(a,b)=0，則存在整數對(x,y)，使得a∗x+b∗y=c

通過上面的方法可得到一組特解x0，y0使得a∗x+b∗y=gcd(a,b)，那麼如何在無窮多個解中求出x，y最小正整數解。

證明：

首先 a

∗x0+a∗k∗b/gcd(a,b)+b∗y

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