一. 概念解釋

PDF：概率密度函式（probability density function）, 在數學中，連續型隨機變數的概率密度函式（在不至於混淆時可以簡稱為密度函式）是一個描述這個隨機變數的輸出值，在某個確定的取值點附近的可能性的函式。

PMF : 概率質量函式（probability mass function), 在概率論中，概率質量函式是離散隨機變數在各特定取值上的概率。

CDF : 累積分佈函式 (cumulative distribution function)，又叫分佈函式，是概率密度函式的積分，能完整描述一個實隨機變數X的概率分佈。

二. 數學表示

PDF：如果XX是連續型隨機變數，定義概率密度函式為

Pr(a≤X≤b)=∫bafX(x)dx$Pr\left(a\le X\le b\right)={\int }_a^b{f}_X(x)dx$
PMF：如果XX離散型隨機變數，定義概率質量函式為fX(x)$f_X(x)$,PMF其實就是高中所學的離散型隨機變數的分佈律,即
fX(x)=Pr(X=x)$f_X(x)=Pr\left(X=x\right)$
比如對於擲一枚均勻硬幣，如果正面令X=1$X=1$，如果反面令X=0$X=0$，那麼它的PMF就是
fX(x)={12 if x∈{0,1}0 if x∉{0,1}$f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\text{ if }x\in \left\{0,1\right\}\\ 0\text{ if }x\notin \left\{0,1\right\}\end{array}$
CDF：不管是什麼型別（連續/離散/其他）的隨機變數，都可以定義它的累積分佈函式，有時簡稱為分佈函式。

對於連續型隨機變數，顯然有
FX(x)=Pr(X≤x)=∫x−∞fX(t)dt$F_X\left(x\right)=Pr\left(X\le x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{f}_X(t)dt$
那麼CDF就是PDF的積分，PDF就是CDF的導數。
對於離散型隨機變數，其CDF是分段函式，比如舉例中的擲硬幣隨機變數，它的CDF為
FX(x)=Pr(X≤x)=⎧⎩⎨⎪⎪0 if x<012 if 0≤x<11 if x≥1$F_X\left(x\right)=Pr\left(X\le x\right)=\{\begin{array}{l}0\text{ if }x<0\\ \frac{1}{2}\text{ if }0\le x<1\\ 1\text{ if }x\ge 1\end{array}$

三.概念分析

　根據上述，我們能得到一下結論：

　１）PDF是連續變數特有的，PMF是離散隨機變數特有的；
　２）PDF的取值本身不是概率，它是一種趨勢（密度）只有對連續隨機變數的取值進行積分後才是概率，也就是說對於連續值確定它在某一點的概率是沒有意義的；
　３）PMF的取值本身代表該值的概率。

四.分佈函式的意義

　　我們從兩點來分析分佈函式的意義：
　　
　　1.為什麼需要分佈函式？

　　對於離散型隨機變數，可以直接用分佈律來描述其統計規律性，而對於非離散型的隨機變數，如連續型隨機變數，因為我們無法一一列舉出隨機變數的所有可能取值，所以它的概率分佈不能像隨機變數那樣進行描述，於是引入PDF，用積分來求隨機變數落入某個區間的概率。分佈律不能描述連續型隨機變數，密度函式不能描述離散隨機變數，因此需要找到一個統一方式描述隨機變數統計規律，這就有了分佈函式。另外，在現實生活中，有時候人們感興趣的是隨機變數落入某個範圍內的概率是多少，如擲骰子的數小於3點的獲勝，那麼考慮隨機變數落入某個區間的概率就變得有現實意義了，因此引入分佈函式很有必要。
　　2. 分佈函式的意義

　　分佈函式F(x)F(x)在點xx處的函式值表示XX落在區間(−∞,x](−∞,x]內的概率，所以分佈函式就是定義域為RR的一個普通函式，因此我們可以把概率問題轉化為函式問題，從而可以利用普通的函式知識來研究概率問題，增大了概率的研究範圍。

五：深度理解參考文獻