前言：本萌新這裡的筆記基本摘自於書+一些自己的淺層理解，如有錯誤請吐槽！歡迎指正！

鴿巢原理

定理：

如果n+1個物體，被放入n個盒子，那麼至少有一個盒子包含兩個或多個物體。（這一點無需證明也能理解吧）

應用1：

在13個人中存在兩個人，他們的生日在同一個月份。（哇，看似好簡單啊~這破應用！）

應用2：

問題：設有n對夫婦，為保證能夠有一對夫婦被選出，至少要從這2n個人中選出多少人？
其實就是n+1個人對不對。考慮如果我選n個人的話？那麼我們一定能構造x個男性，n-x個女性都不存在x個男性的配偶x∈[0,n]，那麼我們一旦多一個，一定會多一個異性使得“平衡破壞”，而產生一對夫婦。

應用3：

這個應用我覺得肯定有人做過這道題目：

我們簡單的思考這個問題，考慮從1位置開始的m個字首和。

我們排除這m個字首和%m==0的情況，因為這樣就已經滿足整除m了。

我們知道除以m的數最多隻有m-1個非零餘數，那麼bingo!很明顯，這些字首和必然存在相同的餘數。so，如果字首和sum[1,i]%m==sum[1,j]%m且i<j，那麼是不是(sum[1,j]-sum[1-i])%m=0。所以一定存在。

應用4：

一位國際象棋大師有11周的時間備戰一場錦標賽，他決定每天至少下一盤棋，但每週下棋不超過12盤。證明連續若干天，這位大師恰好下了21盤棋。

分析：11周-77天，我們考慮sum[1,i]代表從第一天開始到第 i 天的下棋盤數總數，我們能知道這個序列是嚴格遞增的序列
sum[1,1]<sum[1,2]<sum[1,3]<......<sum[1,77]，並且說一星期下棋不超過12盤，那麼12*11=132，即

1≤sum[1,1]<sum[1,2]<sum[1,3]<......<sum[1,77]≤132.
現在去套上21！1+21(22)≤sum[1,1]+21<sum[1,2]+21<sum[1,3]+21<......<sum[1,77]+21≤132+21(153).
我們知道由於嚴格遞增，對於任意i≠j,sum[1,i]≠sum[1,j]，那麼也就可以推出：對於任意i≠j,sum[1,i]+21≠sum[1,j]+21

那麼對於這154（77+77）個數：sum[1,1]，sum[1,2]，sum[1,3]，......，sum[1,77]，sum[1,1]+21，sum[1,2]+21，sum[1,3]+21，......，sum[1,77]+21，
屬於[1,153]範圍內，一定存在兩個相等的數！由於兩類各自都不存在相等的數，那麼一定存在：i,j，sum[1,i]+21=sum[1,j]，也就是說在i+1,i+2,...,j連續這幾天內下了21盤棋。
（這個應用開始有意思了？）

應用5：

應用6（中國剩餘定理）：