概念

問題來源

p個不同人圍k個相同圓桌而坐，要求各桌非空，其不同方案數為第一類Stirling數S(p,k)。

問題解決

S(p,p)＝1(p≥0)，S(p,0)＝0(p≥1)
分類討論。
一類，人1獨圍一圓桌：S(p－1,k－1)；
二類 ,人1不獨圍一圓桌：先安排人2,人3,…, 人p，再把人1安排在人2,人3,…,人p任一人的 左邊，有(p－1)S(p－1,k)個。
綜上所述：S(p,k)＝S(p－1,k－1)＋(p－1)S(p－1,k)
這個是第一類斯特林數的組合概念。

另一種概念

眾所周知，排列數Ppn為在n個人中選k個人的排列方案數，組合數Cpn為

第一類斯特林數遞推

顯然S(p,p)＝1，S(p,0)＝0
S(p,k)(k＝1,2,…,p－1)滿足：
S(p,k)＝(p－1)S(p－1,k)

應用

解決自然數冪和參見用第一類斯特林數解決自然數冪和，或者一些組合數學的問題。
這個第一類斯特林數做自然數冪和簡直是極品，你可以做一做WYF的盒子。正常打自然數冪和的在mod意義下操作的題目都要打中國剩餘定理來取模，但是我們發現我們求得是排列數，就是可以一坨數乘起來，沒有除號運算。然後在除以k+1的過程中，因為n-k+1到n一共有k個數，一定有且只有一個數是k+1的倍數，那麼可以直接整除，就省去了除法部分了。

題目