最大m子段和

一、定義

給定由n個整數（可能為負）組成的序列a1、a2、a3...,an,

以及一個正整數m，要求確定序列的m個不相交子段，使這m個子段的總和最大！

特別注意：

有些題目可能不存在負數答案，給出的序列全是負數，那麼不管m是多少，答案是0。此時選擇的子段是0個，不足m個，但符合題意。。。

也可能有些題目要求，必須選夠m個子段。

區別在dp陣列的初始化。前者要求dp初始為0，後者要求第0行為0，其餘為負無窮

二、解題思路

動態規劃，藉助矩陣可以直觀的看到計算過程。 定義二維陣列dp， dp[ i ][ j ]，表示前 j 項所構成 i 子段的最大和，且必須包含著第j項，即以第j項結尾

然後是一個遞推過程。 求dp[ i ][ j ]，有兩種情況 1、dp[ i ][ j ] = dp[ i ] [ j-1 ] + a[ j ] ，即把第j項融合到第 j-1 項的子段中，子段數沒變 2、dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ] [ t ] + a[ j ]，（i-1<= t < j ）

把第 j 項作為單獨的一個子段，然後找一下i-1個子段時，最大的和，然後加上a[ j ] 

然後比較上面兩種情況，取大的。 下面看圖，紅色數字為輸入的序列：
如圖，要求dp[ 3 ][ 6 ]，只需比較他左邊的那個，和上面那一行圈起來的之中最大

的數， 再加上a[ j ] 即為dp[ 3 ][ 6 ] 的值。 優化一下： 1、沿著第m行的最後一個元素，往左上方向畫一條線，線右上方的元素是沒必要計算的

那麼dp[ i ][ j ] ，j++的時候，j的上限為 i + n - m 即可。 還有左下角那一半矩陣，也是不用計算的，因為1個數字不可能分為2個子段

2、每確定一個dp[ i ][ j ]，只需用到本行和上一行，所以不用開維陣列也可以，省記憶體。

開兩個一維陣列，pre和dp，pre記錄上一行，dp記錄當前行

3、再對上一行紅圈中的數字找最大值時，若用一個迴圈來找，容易超時。

優化方法：在每次計算dp之前，同時記錄下j前面的最大元素。

時間複雜度大致為O(m*(n-m+1))，mn-m方 通過圖片，分析情況1和2，就能發現，從左上角走到第 m 行的最後一個元素即可，找出第 m 行的最大值即為答案。 詳見例題。

三、例題

1、51nod 1052 基準時間限制：2 秒 空間限制：131072 KB 分值: 80 難度：5級演算法題 N個整陣列成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，將這N個數劃分為互不相交的M個子段，並且這M個子段的和是最大的。如果M >= N個數中正數的個數，那麼輸出所有正數的和。 例如：-2 11 -4 13 -5 6 -2，分為2段，11 -4 13一段，6一段，和為26。 Input

第1行：2個數N和M，中間用空格分隔。N為整數的個數，M為劃分為多少段。（2 <= N , M <= 5000)
第2 - N+1行：N個整數 (-10^9 <= a[i] <= 10^9)

Output

輸出這個最大和

Input示例

7 2
-2
11
-4
13
-5
6
-2

Output示例

26

【AC程式碼】：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;  
typedef long long ll;
const int N=1e6+5; 
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m;
ll a[N],dp[2][N];   //只儲存上一行和當前行 
int main()  
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))   //n個數字，m子段和 
    { 
        for(int i=1;i<=n;i++) 
			scanf("%lld",a+i);  
		for(int i=0;i<=n;i++)
			dp[0][i]=0,dp[1][i]=0;    //關鍵！此題答案只允許正值
		
        for(int i=1,k=1;i<=m;i++,k^=1)    //分為i段，k為兩行之間的切換
        {
        	dp[k][i-1]=-INF;   //i==j時，杜絕與前一元素共伍
            ll maxpre=-INF;    //maxpre記錄上一行的最大值
            for(int j=i;j<=n-m+i;j++)
            {
                maxpre=max(maxpre,dp[k^1][j-1]);     //隨時更新上一行最大值
                dp[k][j]=max(dp[k][j-1],maxpre)+a[j]; //*對情況1、2的選擇
            }
        }
        ll ans=-INF;
        for(int i=m;i<=n;i++)   //找到第m行的最大值，即為答案
                ans=max(ans,dp[m&1][i]);
        printf("%lld\n",ans);
    }  
}

2、HDU 1024 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024

 資料量比51nod的這個題大，一百萬。上面的程式碼，把n和m互換就可以過HDU1024