<黑書總結>

關鍵詞：獨立集、團、完美圖

1.獨立集

1)定義：無向圖G<V,E>中選一個點集U，任意兩點在G中不相鄰

等價定義：點集U，匯出子圖是零圖

2)獨立集的性質：

1.獨立集的子集仍是獨立集

3)極大獨立集：不能被任何一個獨立集包含的獨立集

4)最大獨立集：極大獨立集中點數最多的一個，頂點數記為a(G)。對一般圖來說，a(G)很難計算

5)特殊圖的獨立集（結論）

1.零圖Nn：n

 2.完全圖Kn：1

 3.二分圖Km,n：|X|+|Y|-max_match(|M|)

 4.樹：dp可以求出

2.團

1)定義：無向圖G<V,E>中選出一個點集，任意兩點在G中都相鄰

等價定義：點集U，匯出子圖是完全圖

2)團的性質

1.團的子集仍是團

3)極大團：不能被任何一個團包含的團

4)最大團：點數最多的團，頂點數記為w(G)

重要性質：

由於團和獨立集定義的互補性可知：a(G)=w(!G)

!G是G的補圖

3,二者關係

1)最小獨立集劃分

定義：無向圖G最少可以劃分為多少個獨立集（不相交），最小值記為X(G)

等價定義：最少用多少種顏色給地圖著色，使得任意兩點顏色不相同

同一種顏色不相鄰，構成一個獨立集，所以最小著色問題就是最小獨立集劃分問題

2)最小團劃分

定義：無向圖G最少可以劃分成多少個團（不相交），最小值記為⊕(G)

重要性質：

1.X(G)=⊕(!G)

2.X(G)>=w(G)、⊕(G)>=a(G)

不相鄰的點一定屬於不同團劃分，相鄰的點一定屬於不同獨立集劃分,因此不等式成立

3)完美圖

G的任意匯出子圖G’都滿足X(G‘)=w(G‘)，則G是X-完美圖

G的任意匯出子圖G’都滿足⊕(G‘)=a(G’)，則G是⊕-完美圖

定理：G是X-完美圖 <=> G是⊕-完美圖，G是X-完美圖 <=> !G是X-完美圖

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最小點覆蓋集：最少的點集，每條邊至少有一個端點被覆蓋

最小路徑覆蓋：最少的（點）不相交的簡單路徑，覆蓋有向圖中所有的點。每個單獨的點可以看做一條路徑

結論：

1.二分圖的最小點覆蓋數=最大匹配數（Koning定理）

2.DAG圖的最小路徑覆蓋數=頂點數-對應二分圖的最大匹配

二分圖建圖方法：將DAG圖中每個點u分為u0和u1，DAG圖中u->v，則二分圖中連線u0-v1

簡證：已得到對應二分圖的最大匹配M，M中的連邊u0-v1作為路徑覆蓋中的邊u->v，這樣一定構成一個路徑覆蓋。因為匹配的定義保證了構造的路徑中每個點的入度/出度至多為1。對於路徑覆蓋中的每條簡單路徑，除了結尾節點外都有唯一的後繼---匹配節點與之對應。因此匹配數就是非結尾結點個數（匹配數=匹配邊X集合的點個數=非結尾結點個數）。當匹配邊數達到最大時，非結尾節點數也達到最大。此時，結尾結點數最少，即路徑數最少。

3.無向圖的最大獨立集=|V|-最小點覆蓋集

實際上，無向圖的每一個獨立集S都與一個點覆蓋集T=V-S對應

重新定義，可以對互補性有更清晰的認識。

點覆蓋集：對於每條邊，至少有一個點要被選中

獨立集：對於每條邊，至少有一條邊未被選中