逆元的定義

滿足a*k≡1 (mod p)的k值就是a關於p的乘法逆元。

如何求k值

（a，p互質）

可以將a*k≡1 (mod p)轉化為a*k+b*p=1即ax+by=d=gcd(a,b)

ax+by=d=gcd(a,b)

(1)如果b=0即ax=a,則ax=a;x=1,y取任意值，為了簡單y=0

(2)如果b!=0即a'=b,b'=a%b;gcd(a',b')=d,a'x'+b'y'=d

由於b'=a%b=a-a/b*b

a'x'+b'y'=bx'+(a-a/b*b)y'=ay'+b(x'-a/by')=d

x=y';y=x'-a/b*y'

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;y=0;
        return a;
   }
   int r=exgcd(b,a%b,x,y);
   int t=x;
   x=y;y=t-a/b*y;
   return r;
}
 

轉了一大圈，求逆元有什麼用，為什麼要有乘法逆元呢？
當我們要求（a/b） mod p的值，且a很大，無法直接求得a/b的值時，我們就要用到乘法逆元。我們可以通過求b關於p的乘法逆元k，將a乘上k再模p，即(a*k) mod p。其結果與(a/b) mod p等價。

證明如下：

b*k≡1 (mod p)  b*k=p*x+1,k=(p*x+1)/b

a*k%p=(a*(p*x+1)/b)%p=(a/b+p*x*a/b)%p=(a/b)%p+(p*a*x/b)%p=(a/b)%p

因為a%b==0 p*a*x%b=0;