(v1, v2, v3)座標系 ==> (u1, u2, u3)座標系

u₁ =a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃
u₂ =a₄v₁ + a₅v₂ + a₆v₃
u₃ =a₇v₁ + a₈v₂ + a₉v₃

[ u ] = M [ v ]------------------------------ 1

現已知一向量w,可分別表達為
w = c₁v₁ + c₂v₂ + c₃v3    --------------------- 2
w = d₁u₁ + d₂u₂ + d₃u3  -------------------- 3
由1, 2，3兩式得

w = c [ v ] = d [ u ] = d M [v]
==>   c = d M  --------------------------- 4
公式推導完畢

假設任意座標系三個座標軸的分量是 (u, v, w),現要轉換成標準的( i , j, k )座標系
假設u, v, w, i, j, k都是單位向量
將,u, v, w三個向量分別帶入 2, 3式可得到9個非常簡單的方程組
求解後M的9個元素可得

        |  u_x   u_y  u_{z   |}
M =  |  v_x   v_y   v_{z   |}
        |  w_x  w_y  w_{z |}

至此，(v1, v2, v3)座標系 ==> (u1, u2, u3)座標系的轉換系數已求出，如果需要座標平移系的話，需要採用4 x 4的矩陣