自然數冪和斯特林數

阿新 • • 發佈：2019-01-24

2018 UPD：
其實第二類斯特林數做自然數冪和更簡單，這裡簡單寫一下：
由一個基本式子出發

nk=∑i=0k{ki}[n]i
考慮對n求和
Ans=∑i=0nik=∑i=0n∑j=0k{kj}[i]j
=∑j=0k{kj}∑i=0n[i]j
=∑j=0k{kj}j!∑i=0n(ij)
=∑j=0k{kj}j!(n+1j+1)
然後就沒了，{kj}={k−1j−1}+j{k−1j}可以O(k2)遞推，而且與下面第一類同理對模數沒有要求

一年多前接觸過這個東西，但是當時理解很淺，很快就忘了
今天Drin_E講題的時候手推的，感覺很勁，渾然天成，邏輯性強，推理、轉化自然，易理解
還是要mark一下的=w=

Description

求

Sn,k=∑i=0nik

Analysis

構造一個多項式

Pkx=x(x−1)...(x−k+1)
顯然也可以寫成如下形式，容易發現係數只與k,i有關，設為Ssk,i
Pkx=∑i=1kxiSsk,i
考慮如何求出Ssk,i，為了使用歸納法，構造Pk+1x，觀察其與Pkx各項係數的關係
Pk+1x=∑i=1k+1xiSsk+1,i=x(x−1)...(x−k)
=(x−k)Pkx=(x−k)∑i=1kxiSsk,i
=∑i=1kxi+1

自然數冪和斯特林數

2018 UPD：其實第二類斯特林數做自然數冪和更簡單，這裡簡單寫一下：由一個基本式子出發 nk=∑i=0k{ki}[n]i 考慮對n求和 Ans=∑i=0nik=∑i=0n∑j=0k{kj}[i]j =∑j=0k{kj}∑i=0n[i]j =

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[SLYZ] Arena | 一類斯特林數

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