雅克比矩陣、海森矩陣與非線性最小二乘間的關係與在SFM和Pose Estimation中的應用

阿新 • • 發佈：2019-01-24

近期，在研究SFM和pose estimation時時常接觸到這三個詞，剛開始不太明白他們間的關係，現將他們整理一下。歡迎吐槽，有什麼不對的地方歡迎指正！

首先，介紹一下三個詞的數學定義與含義：

雅可比矩陣

假設F:R_n→R_m 是一個從歐式n維空間轉換到歐式m維空間的函式。這個函式由m個實函式組成: y1(x1,...,xn), ..., ym(x1,...,xn). 這些函式的偏導數(如果存在)可以組成一個m行n列的矩陣，這就是所謂的雅可比矩陣：

$begin{bmatrix} frac{partial y_1}{partial x_1} & cdots & frac{partial y_1}{partial x_n} vdots & ddots & vdots frac{partial y_m}{partial x_1} & cdots & frac{partial y_m}{partial x_n} end{bmatrix}.$

此矩陣表示為：

$J_F(x_1,ldots,x_n)$ ，或者 $frac{partial(y_1,ldots,y_m)}{partial(x_1,ldots,x_n)}.$

這個矩陣的第i行是由梯度函式的轉置y_i(i=1,...,m)表示的

在數學中，海森矩陣

（Hessian matrix 或 Hessian）是一個自變數為向量的實值函式的二階偏導數組成的方塊矩陣，此函式如下：

$f(x_1, x_2, dots, x_n),$

如果 f 所有的二階導數都存在，那麼 f 的海森矩陣即：

$H(f)_{ij}(x) = D_i D_j f(x)$

其中 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$ ，即

$H(f) = begin{bmatrix} frac{partial^2 f}{partial x_1^2} & frac{partial^2 f}{partial x_1,partial x_2} & cdots & frac{partial^2 f}{partial x_1,partial x_n} frac{partial^2 f}{partial x_2,partial x_1} & frac{partial^2 f}{partial x_2^2} & cdots & frac{partial^2 f}{partial x_2,partial x_n} vdots & vdots & ddots & vdots frac{partial^2 f}{partial x_n,partial x_1} & frac{partial^2 f}{partial x_n,partial x_2} & cdots & frac{partial^2 f}{partial x_n^2} end{bmatrix}$
解非線性最小二乘法

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