版本1：

 有方程a1*x1+a2*x2+...an*xn=N,給定n(1000=>n>=1)個係數ai（1000>=ai>=0）和N(1000>=N>0)，求滿足這個方程的非負整數解（x1,x2...xn）的個數。（結果對10007取模）

實現1：

  構造母函式，(1+x^1+x^2+..x^(N/a1))^^a1*(1+x^1+x^2+..x^(N/a2))^^a2...(1+x^1+..x^(N/an))^^an

^^ai表示從從第一項中取出的項指數乘以ai;

這個函式展開後x^N前面的係數就是方程解的個數。

時間複雜度O（N^2*n）;

實現2：

DP，f[N]+=f[N-a[i]] (1<=i<=n)

時間複雜度O(N*n)

版本2：

求方程x1+x2+…...+xn = m滿足xi>=1的解的個數。

輸入由多組資料組成。每組資料輸入一行n和m（1<=n<=300,n<=m<=100000）。

由於方程的解的個數會超過整數範圍，因此輸出的結果對10007求餘

實現1：

由於是上例的特殊情況，令a[i]都=1；

直接套用上例DP時間複雜度為O（m*n）,可以接受；

套用母函式時間複雜度為O(m^2*n),速度太慢；

實現2：

用組合數學中的隔板法，直接得結果C(n-1,m-1);

計算C(n-1,m-1)也有兩種解法：

1.C(n,m)=C(n,m-1)+C(n-1,m-1);

  可以遞推，但是m很大消耗記憶體很大，但可以用滾動陣列優化，時間複雜度O(m*n);

2.C(n,m)=m*(m-1)*..(m-n+1)/n!

先令a[1...n]=1..n;a[m-n+1..m]=m-n+1..m;

   可以先將a[1]到a[n]這n個數每個數與a[m-n+1]到a[m]這n個數的最大公約數都約掉，因為C(n,m)是整數，所以

a[1]到a[n]這n個數必然都能完全被約掉，到後面都變為1，最後將a[m-n+1]到a[m]這n個數累乘，乘的同時可以取

模取掉；

時間複雜度O(n^2),跟m無關了，最優！！

附上這種方法的程式碼：

#include<iostream> using namespace std; int n,m,i,j,a[100005]; int gcd(int a,int b) { if (a%b==0) return b; else return gcd(b,a%b); } int main() { int ans,t,k; while(cin>>n>>m) { //C(n-1,m-1) ans=1; for(i=m-n+1;i<=m-1;i++) a[i]=i; for(i=1;i<=n-1;i++) { t=i; for(j=m-n+1;j<=m-1;j++) { if (t==1) break; k=gcd(a[j],t); a[j]=a[j]/k; t=t/k; } } for(i=m-n+1;i<=m-1;i++) ans=ans*a[i]%10007; cout<<ans<<endl; } }