數位DP

什麼是數位DP

數位DP是DP的一種，顧名思義，按每一個數位來進行DP。

什麼時候使用

題目的要求與一個數字相關，並且它能通過每一個數位來進行轉移。
例題：求所有n$n$位數中能被m$m$整除的數的個數。

怎麼使用

一般的DP是多維的，首先會有一維表示的是當前到了第幾位，通常情況這一維可以使用滾動。
其它的就是根據題目的實際要求了，如例題就需要一維來記錄除以m$m$的餘數。
以例題為例，我們來講講數位DP怎麼實現。

狀態與轉移

我們設f[i][j]$f[i][j]$表示當前到了第i$i$位，除以m$m$的餘數為j$j$的方案數。
一般是從高位往低位DP，因為最高位不能為0$0$，所以我們對

接著我們用第i$i$位的狀態去更新第i+1$i+1$位的狀態，每次列舉當前在第i+1$i+1$位加入k$k$。
想想怎麼轉移？
對於當前的餘數j$j$，在末尾加入了k$k$，餘數變成什麼？
根據同餘的性質，我們自然可以得到：餘數變成了(j∗10+k)modm$(j\ast 10+k)\mathrm{mod}m$。
所以，狀態轉移方程如下：

最後的答案是什麼？
首先，第一維自然是n$n$，那麼第二維取什麼值呢？
顯而易見，要求是m$m$的倍數，所以第二維是0$0$。
綜上所述，最後的答案是f[n][0]$f[n][0]$。

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