插入或刪除操作，都有可能改變紅黑樹的平衡性，利用顏色變化與旋轉這兩大法寶就可應對所有情況，將不平衡的紅黑樹變為平衡的紅黑樹。

在進行顏色變化或旋轉的時候，往往要涉及祖孫三代節點：X表示操作的基準節點，P代表X的父節點，G代表X的父節點的父節點。

我們先來大體預覽一下插入的過程：

1、沿著樹查詢插入點，如果查詢過程中發現某個黑色節點的兩個子節點都是紅色，則執行一次顏色變換（父節點變為紅色，而兩個紅色子節點變為黑色）。

2、第1步中，不會改變子樹的黑色高度，但是可能會出現顏色衝突（紅-紅顏色衝突），執行一次或兩次旋轉即可解決。設紅色子節點為X，紅色父節點為P，旋轉次數由X是G的內側子孫還是外側子孫決定。

3、找到插入點之後，設X為新插入的節點。如果P是黑色的，則不需要做任何改變，插入完成。

4、如果P是紅色的，則發生了紅-紅顏色衝突，需要做兩次顏色變化，如果X為G的外側子孫，再進行一次旋轉；如果X為G的內側子孫，再進行兩次旋轉。最終都可使樹變為平衡的紅黑樹。

現在看不懂沒關係，為何要這麼做，我們接下來慢慢分析。

第1步與第2步看似與插入新節點沒關係，其實為了給新節點的插入掃清道路，到後面插入新節點時就會體現出來。

先來看第1步的詳細過程：

上圖中，查詢到P點，發現它的兩個子節點都是紅色，則進行顏色變換（如果P是根，則保持黑色不變）。這種變換並不會改變從根節點經P到葉節點或者空節點的路徑上的黑色節點總數，即不會改變其黑色高度。將P、X1、X2看做三角形的三個頂點，顏色變換之前，經過此三角形時會增加一個黑色節點，顏色變換之後，P變成了紅色，X1、X2變成了黑色，不論是經過X1還是經過X2，還是會增加一個黑色節點。

如果P的父節點是黑色，則不會出現任何問題，但是，如果P的父節點也是紅色，就會發生紅-紅顏色衝突，需要通過旋轉來修正。發生顏色衝突時有兩種情況需要區別對待。

注意，這時候我們選定紅-紅顏色衝突父子節點中的子節點作為基準節點，即X。如果X在P的一側與P在G的一側相同，X即為G的外側子孫，反之，則為內側子孫。

情況1：X為外側子孫節點。

上圖中，表示的是顏色變換之後的情況，12跟25節點發生了顏色衝突，12為50的外側子孫。

在這種情況需要採取三步操作：

1、改變G的顏色；

2、改變P的顏色

3、以G為中心進行向X上升的方向旋轉（本例中是右旋）。

奇蹟發生了，樹突然之間平衡了，而且是符合紅黑規則的。

需要注意的是，在本例中，由於25是50的左子節點，進行的是右旋操作，加入它是右子節點，則需要進行左旋操作。無論是左旋還是右旋，都是向著X上升的方向旋轉。

情況2：X為內側子孫節點。

修正這種情況比較複雜一點，如果我們採取跟內側子孫一樣的做法，X不會上移而是發生橫向移動，使樹變得更加不平衡。因此需要一種不同的方法來解決。

我們先要用一次旋轉讓X成為外側子孫，然後再用一次旋轉使樹平衡。

這種情況需要進行四步操作：

1、改變G的顏色；

2、改變X的顏色；

3、以P為中心向X上升的方向旋轉；

4、以G為中心向X上升的方向旋轉。

 

至此，前期工作已經完成，下面進行新節點的插入。在插入環節，我們以新節點為基準點，即X。

在前面已經說過，我們總是預設新節點為紅色。那麼，找到插入點的時候，會有兩種情況，一種是X的父節點為P為黑色，直接插入即可（因為插入一個紅色新節點既不會影響樹的黑色高度，也不會發生顏色衝突）；另一種情況是X的父節點P也為紅色，插入後會發生紅-紅顏色衝突，需要通過顏色變換與旋轉來修正。

發生顏色衝突的時候，根據X是內側子孫還是外側子孫分別對待，處理方法與上面提到的方法類似。

外側子孫：

內側子孫：

下面我們來討論一下，是否還有其他情況。

假如X有一個兄弟節點S，即P的另一個子節點，會使任何需要的旋轉更加複雜。如果P為黑色，無論X有沒有兄弟節點，都不需要旋轉；如果P為紅色，則插入之前，P不可能有一個單獨的黑色子節點，因為這樣會使S和空子節點的黑色高度不一樣。綜上，插入新節點之後，不會出現X存在兄弟節點而且需要旋轉修正的情況。

假如P有一個兄弟節點，即X的叔節點U，也會使任何需要的旋轉更加複雜。如果P為黑色，X插入後不要要做任何旋轉；如果P為紅色，則U必須為紅色，否則，G到P的黑色高度與G到U的黑色高度就不同了。但是，有兩個紅色子節點的父節點在插入之前我們已經處理掉了，所以這種情況也不會存在。綜上，插入新節點之後，不會出現P存在兄弟節點且需要旋轉修正的情況。

到現在，就明白為什麼要在尋找插入點的過程中，把有兩個紅色子節點的父節點的顏色變換掉，一方面是為了使樹更加平衡，另一方面是大大簡化了插入後的旋轉操作。