§4.3  分部積分法

設函式， 具有連續導數， 那麼

移項得：

對這個等式兩邊求不定積分，得：

                              (1)

式(1)稱為分部積分公式。

(1)還可表述成如下形式：

                                    (2)

它的作用是：

若求有困難，而求較容易時，可採用分部積分公式。分部積分法是數學上常用的一種方法 — 轉化法的具體運用。

【例1】求 

解：設 ，    

，   

在進行分部積分時，把被積表示式中的哪一部分取作，是任意的。但是，如果與的選取不恰當，往往使問題變得更復雜。

例如，在上例中，若選擇 

那麼 ，   

顯然，求  較  更困難。

【例2】求 ，               

解：，             ，       

，              ，    

所以  

這表明：可連續使用分部積分法。

【例3】求 

解：設  ，    

， 

再設 ，     

，   

           (*)

將移到左端，兩端同除以2，並加上任意常數 C，得到：

例三的評註：

1、求，使用兩次分部積分法得( * )式，又轉回到。表面上看，我們在轉圈子，並沒有前進，實質上卻不然。

若設 ( 是一個未知函式) ，則有

這是一個關於的一元一次方程，問題轉化為求此方程的解。很明顯，我們的確把問題的解決大大地向前推進了一步，並未落入“怪圈”

2、怪圈現象在現實中廣泛存在

(1)、分部積分怪圈

(2)、羅必達法則怪圈

(3)、圖形怪圈

(4)、語義怪圈

理髮師：我要為世界上所有不自已刮鬍子的人刮鬍子，

但不為世界上所有自己刮鬍子的人刮鬍子。

某  人：請問，你為自己刮鬍子嗎?

實際解題中，往往是第一、第二換元法與分部積分法揉合在一起使用；而且在分部積分法使用熟練之後，不必設出與，只要記在心中即可。

【例4】求 

解：令 ，  ，  

§4.4  特殊型別函式的積分舉例

一、有理函式積分

1、有理函式與有理函式的積分

有理函式是指兩個既約多項式之商所表示的函式，它具有如下形式：

其中：和均為正整數或零； 及均是實數，且

若， 稱它為真分式；

若， 稱它為假分式。

形如的不定積分稱為有理函式的積分。

若是假分式，利用多項式的除法， 總可以將假分式化成多項式與真分式之和的形式。例如：

多項式的積分我們已經會求，因此，計算的關鍵是：

當為真分式時，如何求。

2、代數學中的一個結論

設為真分式， 若多項式在實數範圍內能分解成一次因子和二次質因子的乘積，即：

其中：  是正整數。

則 可以分解成下列 部分分式之和

常數  可利用待定係數法來確定。

【例1】求 

解：被積函式分解成部分分式

通分得 

令  得 

令  得 

令 得  ， 有 

於是， 有

【例2】求 

解：

比較恆等式兩端有：

二、三角函式有理式的積分

1、何謂三角函式的有理式

三角有理式是指由三角函式和常數經過有限次四則運算所構成的函式。

由於三角函式都可用及的有理式表示， 故三角有理式也就是與的有理式。記作，其中表示兩個變數與 的有理式。

2、萬能替換

三角有理式的積分  均可通過替換將它轉化成關於的有理分式函式的積分。

事實上， 有

 ，  

那麼，三角有理式的積分為

由於是的有理分式函式，而有理分式函式的積分可以化為部分分式的積分，因此，可以說三角函式有理式的積分問題也獲得了完滿的解決。

【例3】求 

解：令 

【例4】求 

解：令 

【例4解法一】

【例4解法二】

三、簡單無理函式的積分

一般說來，無理函式的積分十分地複雜，有些無理函式甚至無法求出用有限形式表示的原函式。

這裡， 我們僅討論  及  這兩類簡單無理函式的積分， 其中是、這兩個變數的有理式。

【例5】求 

解：令 ， ， 

【例6】求 

解：令  

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