導數，偏導，方向倒數，梯度
阿新 • • 發佈：2019-01-24
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導數：
導數不僅僅表示該點切線的斜率，還反應了函式在該點的變化率。
偏導數：
偏導數僅僅是表示某點在x方向的導數和再y軸方向的導數。
這反應了偏導數的侷限性，僅僅是多元函式沿著座標軸的變化率，但是如上圖，在M0點處存在很多方向的偏導數（並不僅僅x和y方向）。這就引出了方向導數。
方向導數：
我們不僅僅要知道函式在座標軸方向上的變化率（即偏導數）還需要設法求得函式在其他方向上的變化率。而方向導數就是函式在其他特定方向上的變化率。
方向導數的定義和導數定義類似，只不過是在多個維度上。例如在三維空間中：
設三元函式f在點P0（x0，y0，z0）的某鄰域內有定義，l為從點P0出發的射線，P（x，y，z）為l上且含於 鄰域內的任一點，以ρ（rou）表示P和P0兩點間的距離。若極限
lim（ (f(P)-f(P0)) / ρ ）= lim （△l f / ρ）（當ρ→0時）
存在，則稱此極限為函式f在點P0沿方向l的方向導數
梯度:
由上面的方向導數可知，方向導數是在各個方向上都有，而且每個方向上的變化一般是不一樣的，那到底沿哪個方向最大呢?沿哪個方向最小呢?為了研究方便,就有了梯度的定義。
下圖是梯度的定義：
梯度是眾多方向導數中最大的那個向量，這個方向就用梯度來表示（grad=ai+bj）這個向量來表示，其中a是函式在x方向上的偏導數，b是函式在y方向上的偏導數，梯度的模就是這個最大方向導數的值。