題意：

給出一張有向圖，能夠把最多k條邊的權值變為零，問從點1到點n的最短距離是多少。

題解一：

分層圖。

建立k張一模一樣的有向圖，層與層之間用權值為零的邊相連。

層與層之間的跳躍就是代表選擇了一條邊權值變為零。

跑一遍迪傑斯特拉，輸出最後一層的點n距離就是答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=5e6+7;
ll n,m,k;
struct Edge{
    ll v,w,nxt;
    Edge(ll v=0,ll w=0,ll nxt=0):v(v),w(w),nxt(nxt){}
}e[N];
ll edn,p[N];
void add(ll u,ll v,ll w){
    e[++edn]=Edge(v,w,p[u]);p[u]=edn;
}
struct Node{
    ll id,w;
    Node(ll id,ll w):id(id),w(w){}
    bool operator<(const Node &a)const{
        return w>a.w;
    }
};
ll vis[N],dis[N];
void dij(){
    priority_queue<Node>q;
    memset(dis,125,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    dis[1]=0;
    q.push(Node(1,0));
    while(!q.empty()){
        ll u=q.top().id;q.pop();
        vis[u]=1;
        for(ll i=p[u];~i;i=e[i].nxt){
            ll v=e[i].v;
            if(vis[v]) continue;
            if(dis[v]-dis[u]>e[i].w){
                dis[v]=dis[u]+e[i].w;
                q.push(Node(v,dis[v]));
            }
        }
    }
}
int main()
{
    ll t;
    scanf("%lld",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
        memset(p,-1,sizeof(p));edn=-1;
        ll u,v,w;
        for(ll i=1;i<=m;i++){
            scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
            for(ll j=0;j<=k;j++){
                add(u+n*j,v+n*j,w);
                if(j!=k)
                    add(u+n*j,v+n*(j+1),0);
            }
        }
        dij();
        printf("%lld\n",dis[n*(k+1)]);
    }
    return 0;
}
 

題解二：

類似dp的思想，把最短路的dis陣列開兩維，dis[i][j]表示走到第i個，改變了j個權值。

每次轉移進行兩次的轉移即可。比上面的會快很多。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=5e5+7;
ll n,m,k;
struct Edge{
    ll v,w,nxt;
    Edge(ll v=0,ll w=0,ll nxt=0):v(v),w(w),nxt(nxt){}
}e[N];
ll edn,p[N];
void add(ll u,ll v,ll w){
    e[++edn]=Edge(v,w,p[u]);p[u]=edn;
}
struct Node{
    ll id,sta,w;
    Node(ll id,ll sta,ll w):id(id),sta(sta),w(w){}
    bool operator<(const Node &a)const{
        return w>a.w;
    }
};
ll vis[N][20],dis[N][20];
void dij(){
    priority_queue<Node>q;
    memset(dis,125,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    dis[1][0]=0;
    q.push(Node(1,0,0));
    while(!q.empty()){
        Node t=q.top();q.pop();
        ll u=t.id;
        vis[u][t.sta]=1;
        for(ll i=p[u];~i;i=e[i].nxt){
            ll v=e[i].v;
            if(vis[v][t.sta]) continue;
            if(t.sta<k&&dis[v][t.sta+1]>t.w){
                dis[v][t.sta+1]=t.w;
                q.push(Node(v,t.sta+1,t.w));
            }
            if(dis[v][t.sta]-dis[u][t.sta]>e[i].w){
                dis[v][t.sta]=dis[u][t.sta]+e[i].w;
                q.push(Node(v,t.sta,dis[v][t.sta]));
            }
        }
    }
}
int main()
{
    ll t;
    scanf("%lld",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
        memset(p,-1,sizeof(p));edn=-1;
        ll u,v,w;
        for(ll i=1;i<=m;i++){
            scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
            add(u,v,w);
        }
        dij();
        printf("%lld\n",dis[n][k]);
    }
    return 0;
}