Notations:
(1) $Diag (x)$ 表示以向量為矩陣對角線元素構成對角陣，如 $Diag (a, b) = (\begin{array}{cccc} a & 0 \\ 0 & b \end{array})$ ；
(2)粗體符號表示矩陣或者向量，如 $x$ 表示向量， $A$ 表示矩陣。

特徵值與特徵向量

　　矩陣的乘法對應著一種線性變換使得原向量在方向和長度上發生變化，比如 $f (x) = A x (x \in R^{n}, A \in R^{m \times n})$ ， $f$ 表示從 $R^{n}$ 空間到 $R^{m}$ 空間的一種線性對映關係。我們考慮 $A$ 是方陣的情況。

\begin{aligned} (1) & y = A x \end{aligned}

其中

y \in R^{m}

。矩陣

A

與向量

x

相乘，表示對

x

進行一次方向和長度上的變換，即向量

y

。
例如：

A = (\begin{array}{cccc} a_{11}, a_{12} \\ a_{21}, a_{22} \end{array})

x = (b_{1}, b_{2})^{T}

，則

\begin{aligned} (2) & y = (\begin{array}{cccc} a_{11} b_{1} + a_{12} b_{2} \\ a_{21} b_{1} + a_{22} b_{2} \end{array}) \end{aligned}

| x | = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}, | y | = \sqrt{(a_{11} b_{1} + a_{12} b_{2})^{2} + (a_{21} b_{1} + a_{22} b_{2})^{2}}

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