一、初識KMP

    理解KMP演算法需要關注2個問題：（請注意：字串下標從0開始。）

    當i指標與j指標失配時：

    1、當母串和模式串不匹配時，i指標為什麼不需要回溯？

    2、當母串和模式串不匹配時，i指標不回溯，那麼j指標應該移動到哪？

    通過解釋第1個問題，我來引出第2個問題。（其實第1個問題，你不明白，不影響你研究第2個問題，你也可以理解了第2個問題後來分析第1個問題。）

    對於母串S和模式串T，如果母串的指標i處與模式串的j處失配，假設母串存在回溯i到back(i) （匹配前的i < back(i) < i），有與模式串的從0開始的模式串有一段一樣長的“段落”，這個母串的段落只有是S[back(i)] 至S[i-1]才有意義，如果從S[back(i)] 至S[i-1]的過程中就已經不匹配了，那回溯至這個back(i)就更沒有必要了。 即S[back(i) ...i-1]=T[0...x] ，x = i-1-back(i)。又因為前面失配時存在同樣長度的段落，即S[back[i]...i-1] = T[ j -1-x...  j-1]，所以T[0...x] = T[j-1-x ...j-1]。

   這其實就轉化成了i不變，j指標移動到x+1（後面討論用next[j] 表示 x +1 ）的問題，即問題2。

   你可以用back(i) = i - 1 - x = i - next[j]來驗證我的分析，注意我的字串的下標是從0開始的。

    我們來討論問題2:

    當 i與j 不匹配的時候，圖1所示，因為有k < j 並且 Si-j... Si-1  = T0...Tj-1 ，所以Si-k...Si-1  = Tj-k...Tj-1。

    由於S的i不回溯，圖2所示，且需要與T的k指標比較，則Si-k...Si-1 = T0...Tk-1。所以T0...Tk-1 = Tj-k...Tj-1。

    令next[j] = k 表示當模式串的j與主串相應字元i不匹配時，在模式中需重新與主串中該字元i比較的字元的位置。則next[j]表示為：

    那我們如何求取next[j]呢？ 用遞推的方式，即通過已知的next[0] = -1, 來推出後面如next[1]、next[2]、next[3]... 的值。最關鍵的是找出next[j + 1] 與next[j]的關係。

    所以我們來研究next[j  + 1] 與 next[j]的關係。(當然我們的前提是next[j] = k，不要忘記哦）

    因為 next[j] = k，這意味著T0...Tk-1= Tj-k ...Tj-1 （0 < k < j，並且k是滿足這個等式的max(k)。）

    那此時next[j + 1] 等於多少呢？

    分兩種情況：

    1、如 Tk = Tj，則T0...Tk-1Tk = Tj-k...Tj-1Tj 。這表示next[j + 1] = k + 1，又由於k = next[j] ，所以next[j + 1] = next[j] + 1 ，故根據next[j]可求得next[j+1]。

    2、較為難理解的是Tk ≠ Tj 。此時顯然T0...Tk-1Tk  ≠ Tj-k...Tj-1Tj 。如果我們把###Tj-k...Tj-1Tj### 表示母串，以T0...Tk-1Tk###表示模式串。顯然當Tj與Tk失配的時候，Tj應該與模式串的k'=next[k] 來匹配。此時應該有T0...Tk'-1 = Tk-k'...Tk-1=Tj-k'...Tj-1。(1 < k' < k < j）。 注意，此時我們需要關注Tk‘與Tj的關係，關注Tk'與Tk的關係對於解決next[j+1]沒有用處！

    此時也應該分兩種情況，即

    1）、如果Tk‘= Tj ，所以T0...Tk'-1Tk' = Tj-k'...Tj-1Tj 。所以next[j + 1] = k' + 1，由於k' = next[k]，所以next[j + 1] = next[k] + 1，故根據next[k]可求得next[j+1]。

    2）、如果Tk' ≠ Tj，我們就要尋找更小的k''來匹配Tj。這當然也是有兩種情況，即Tk'' = Tj 或Tk"≠ Tj，對於前者，next[j + 1] = k" + 1 = next[k'] + 1,尋找結束；對於後者，繼續尋找更小的k'''、k''''，當然尋找不能無限制下去，結束的條件就是next[0] = -1 或你提前找到了你的k ?（如果你找到了你的k?，顯然next[j + 1] = k？+ 1，尋找結束）。

   現在來分析說明get_next函式（見程式碼實現部分）的正確性。

    我們需要證明在next[j]==k的基礎上得到next[j+1]=(k/next[k]/.../-1之一） + 1 ，考察字串abaabcac，下標從0開始，規定next[0]=-1

    當j=0, k=-1，滿足next[j]=k，因為k=-1，我們可以得到next[j+1]=k+1， 即next[1]=0；

    當j=1, k=0， 滿足next[j]=k，因為T[j] ≠T[k]，但next[k]=-1，我們可以得到next[j+1]=next[k]+1， 即next[2]=0；

    當j=2, k=0， 滿足next[j]=k，因為T[j]=T[k]， 我們可以得到next[j+1]=k+1， 即next[3]=1；

    當j=3, k=1， 滿足next[j]=k，因為T[j]≠T[k]，但T[j]=T[next[k]]， 我們可以得到next[j+1] = next[k]+1， 即next[2]=1；

    由前面next[j] = k ，我們根據get_next函式可以證明一般性結論next[j+1] = (k/next[k]/.../-1之一） + 1。

二 、程式碼實現

#include <stdio.h>
#include <string.h>

int next[32] = {-999};

/* 返回模式串T在母串S中第pos個字元的位置 */
/* 除錯小技巧 print x = value 或 set var x = value 可以改變gdb執行時變數的值 */
int index_BM(char *S, char *T, int pos)
{
    int i;
    int j;

    i = pos;
    j = 0; 

    while ( (i < strlen(S)) && (j < strlen(T)) )
    {
        if (S[i] == T[j])
        {
            i++;
            j++;
        }
        else
        {
            i = i - j + 1; 
            j = 0;
        }
    }

    /* 注意strlen(T)意味著j的取值範圍為0 ~ (strlen(T) - 1) */
    if (strlen(T) == j)
    {
        return i - strlen(T);
    }
    else
    {
        return -1;
    }
}

void get_next(char *T, int *next)
{
    int k = -1;
    int j = 0;

    next[j] = k;

    while (j < strlen(T))
    {
        if ( (k == -1) || (T[j] == T[k]) ) //注意等號是==，而不是=
        {
            ++k; // 注意是先加後使用
            ++j;
            next[j] = k;
        }
        else
        {
            k = next[k]; 
        }
    }
}

int index_KMP(char *S, char *T, int pos)
{
    int i;
    int j;

    i = pos;
    j = 0; 

    while ( (i < strlen(S)) && (j < strlen(T)) )
    {
        /* j = -1 表示next[0], 說明失配處在模式串T的第0個字元。所以這裡特殊處理，然後令i+1和j+1。*/
        if ( (j == -1)  || S[i] == T[j])
        {
            i++;
            j++;
        }
        else
        {
            j = next[j];
        }
    }

    if (strlen(T) == j)
    {
        return i - strlen(T);
    }
    else
    {
        return -1;
    }
}

void print_next(int next[], int n)
{
   int i;

   for (i = 0; i < n; i++) 
   {
       printf("next[%d] = %d\n", i, next[i]);
   }
}

int main(void)
{
    char *s = "ababcabcacbab";
    char *t = "abcac";
    int pos = 0;
    int index;

    printf("================ BM ==============\n");
    index = index_BM(s, t, pos);
    printf("index = %d\n", index);

    printf("================ KMP ==============\n");
    get_next(t, next);
    print_next(next, strlen(t));

    index = index_KMP(s, t, pos);
    printf("index = %d\n", index);
}