最小二乘法

最小二乘法可以擬用於曲線擬合。
比如離散的給定點的運動軌跡軌跡： $P_{0}, P_{1}, . . ., P_{n}$
用一個多項式曲線 $f (x)$ ，近似描繪出運動軌跡。

$f (x) = \sum_{i = 0}^{N} a_{i} x^{i}$

運動軌跡可以看作是一個離散的函式。近似程度可以用：

$E (a_{0}, a_{1}, . . . . a_{N}) = \sum_{i = 0}^{n} (f (x_{i}) - y_{i})^{2}$

為什麼使用平方，可能它真的很好。而卻確實有很多優點。比如

$| l - x | + | x - r |$

$(l - x)^{2} + (x - r)^{2}$

對於上面的式子，x在取值(l,r)時，大小是恆定的。下面的式子，x去中間正好最小。 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$

a^{2} + b^{2} \geq 2 a b

如果

P

是一條連已知函式的曲線

g (x)

。以題目為例：

g (x) = e x p (x)

如果要找到在區間[0,1]最為近似 $g (x)$ 的 $N$ 次多項式 $f (x)$ .因為給出的g是連續的，那麼對應的和式變積分有：

E (a_{0}, a_{1}, a_{2}, . . . a_{N}) = \int_{0}^{1} (f (x) - g (x))^{2} d x

極小化E，使其偏導在各個方向為0.

$\frac{\partial E}{\partial a_{s}} = \int_{0}^{1} \frac{\partial (f (x) - g (x))^{2} d x}{\partial a_{s}} = \int_{0}^{1} \frac{\partial (\sum_{i = 0}^{N} a_{i} x^{i} - g (x))^{2} d x}{\partial a_{s}} = \int_{0}^{1} (\frac{\partial (\sum_{i = 0}^{N} a_{i} x^{i})^{2}}{\partial a_{s}} + \frac{\partial g^{2} (x)}{\partial a_{s}} - 2 \frac{\partial (\sum_{i = 0}^{N} a_{i} x^{i}) g (x)}{\partial a_{s}}) d x$

51nod 1747 近似多項式（最小二乘法）

最小二乘法

$f (x) = \sum_{i = 0}^{N} a_{i} x^{i}$

$E (a_{0}, a_{1}, . . . . a_{N}) = \sum_{i = 0}^{n} (f (x_{i}) - y_{i})^{2}$

$| l - x | + | x - r |$

$(l - x)^{2} + (x - r)^{2}$

如果要找到在區間[0,1]最為近似 $g (x)$ 的 $N$ 次多項式 $f (x)$ .因為給出的g是連續的，那麼對應的和式變積分有：

極小化E，使其偏導在各個方向為0.

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51nod 1747 近似多項式（最小二乘法）

最小二乘法

f(x)=∑i=0Naixif(x)=∑i=0Naixi

E(a0,a1,....aN)=∑i=0n(f(xi)−yi)2E(a0,a1,....aN)=∑i=0n(f(xi)−yi)2

|l−x|+|x−r||l−x|+|x−r|

(l−x)2+(x−r)2(l−x)2+(x−r)2

如果要找到在區間[0,1]最為近似g(x)g(x)的NN次多項式f(x)f(x).因為給出的g是連續的，那麼對應的和式變積分有：

極小化E，使其偏導在各個方向為0.

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$f (x) = \sum_{i = 0}^{N} a_{i} x^{i}$

$E (a_{0}, a_{1}, . . . . a_{N}) = \sum_{i = 0}^{n} (f (x_{i}) - y_{i})^{2}$

$| l - x | + | x - r |$

$(l - x)^{2} + (x - r)^{2}$

如果要找到在區間[0,1]最為近似 $g (x)$ 的 $N$ 次多項式 $f (x)$ .因為給出的g是連續的，那麼對應的和式變積分有：