題解：
對於 a≤x≤b，c≤y≤d$a\le x\le b，c\le y\le d$，這個條件，我們發現比較難以處理，這時候我們可以利用二維字首和的思想，記 x≤b，y≤d$x\le b，y\le d$ 時的答案為 A[b][d]$A[b][d]$，那麼Ans=A[b][d]−A[b][c−1]−A[a−1][d]+A[a−1][c−1]$Ans=A[b][d]-A[b][c-1]-A[a-1][d]+A[a-1][c-1]$，這樣就把問題簡化成了兩個條件的問題。
下面推一下式子：
Ans=Σbi=1Σdj=1(gcd(i,j)==k)$Ans={\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^b{\mathrm{\Sigma }}_{j=1}^d(gcd(i,j)==k)$

=Σbi=1Σdj=1(gcd(i/k,j/k)

==1)$={\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^b{\mathrm{\Sigma }}_{j=1}^d(gcd(i/k,j/k)==1)$

我們發現 gcd(X,Y)==1$gcd(X,Y)==1$，可以用卷積的單位元來做。

=Σbi=1Σdj=1(e(gcd(i/k,j/k))==1)$={\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^b{\mathrm{\Sigma }}_{j=1}^d(e(gcd(i/k,j/k))==1)$

=Σbi=1Σdj=1ΣT|(i/k),T|(j/k)μ(T)$={\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^b{\mathrm{\Sigma }}_{j=1}^d{\mathrm{\Sigma }}_{T|(i/k),T|(j/k)}\mu (T)$

=ΣT|(i/k),T|(j/k)μ(T)Σb/(k∗T)i=1Σd/(k∗T)j=1∗1$={\mathrm{\Sigma }}_{T|(i/k),T|(j/k)}\mu (T){\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^{b/(k\ast T)}{\mathrm{\Sigma }}_{j=1}^{d/(k\ast T)}\ast 1$

=ΣT|(i/k),T|(j,k)μ(T)∗(

b/(k∗T))∗(d/(k∗T))$={\mathrm{\Sigma }}_{T|(i/k),T|(j,k)}\mu (T)\ast (b/(k\ast T))\ast (d/(k\ast T))$

對於(b/(k∗T))

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