1. 程式人生 > >動態規劃之矩陣路徑問題

動態規劃之矩陣路徑問題

給定一個二維陣列map,含義是一張地圖,如下矩陣。

-2   -3   3

-5   -10  1

0   30   -5

騎士從左上角出發,每次只能向右或者向下走,最後到達右下角見到公主。地圖每個位置如果是負數,騎士損失血量,如果是正數,騎士增加血量。其實走到任何一個位置血量都不能少一1。問騎士出發最低血量。

這是最小路徑和的一個變形問題,首先按照最小路徑和的思路來解決試試。

/* 龍與地下城問題使用動態規劃方法,dp[i][j]代表走到m[i][j]的最低血量是多少。
	不過這個動態規劃有點逆向思維,不能按常規順序,從dp陣列的左上角出發。一下是從左上角出發
	的程式碼打印出來的矩陣。
	*/

public int minHP(int [][] m){
		if(m==null||m.length==0||m[0]==null||m[0].length==0){
			return 1;
		}
		int row = m.length;
		int col = m[0].length;
		int dp[][] = new int[row][col];
		dp[0][0]=m[0][0];
		for(int i = 1;i<col;i++){
			dp[0][i]=dp[0][i-1]+m[0][i];
		}
		for(int i=1;i<row;i++){
			dp[i][0]=dp[i-1][0]+m[i][0];
		}
		for(int i = 1; i<col; i++){
			for(int j = 1; j<row; j++){
				dp[i][j]+=Math.max(dp[i-1][j]+m[i][j],dp[i][j-1]+m[i][j]);
			}
		}
		for(int i = 0;i<row;i++){
			for(int j = 0;j<col;j++){
				System.out.print(" " + dp[i][j]);
			}
			System.out.println();
		}
		return dp[row-1][col-1]>=0?0:(dp[row-1][col-1])*-1;
	}
dp陣列輸出結果

 -2 -5 -2
 -7 -15 -1
 -7 23 18

可以看出,最後一個位置雖然是30,按理返回1,顯然1滴血騎士在一開始就死了,所以這種方法是存在bug的,而且優化起來也很麻煩。所以這道題需要逆向思維,從後向前計算dp的值,程式碼如下。

	public int minHPshu(int [][] m){
		if(m==null||m.length==0||m[0]==null||m[0].length==0){
			return 1;
		}
		int row = m.length;
		int col = m[0].length;
		int dp[][] = new int[row--][col--];
		dp[row][col]=m[row][col]>0?1:-m[row][col]+1;
		for(int j= col-1;j>=0;j--){
			// 先算出最後一行的值,這是動態規劃的基本思路,先算出第一行或是第一列的值
			dp[row][j] = Math.max(dp[row][j+1]-m[row][j],1);
		}
		int right = 0;
		int down = 0;
		for(int i=row-1;i>=0;i--){
			// 隨著遍歷逐漸算出最後一列的數,寫在此處可以節省一個單獨的for迴圈
			dp[i][col]=Math.max(dp[i+1][col]-m[i][col],1);
			for(int j=col-1;j>=0;j--){
				//以下兩行為動態規劃的核心程式碼
				right=Math.max(dp[i][j+1]-m[i][j], 1);
				down=Math.max(dp[i+1][j]-m[i][j], 1);
				dp[i][j]=Math.min(right, down);
			}
		}
		//遍歷2維陣列
		for(int i = 0;i<row+1;i++){
			for(int j = 0;j<col+1;j++){
				System.out.print(" " + dp[i][j]);
			}
			System.out.println();
		}
		return dp[0][0];
	}

列印dp:

 7 5 2
 6 11 5
 1 1 6

所以一目瞭然可以dp[0][0]即為所求。

以上為普通的動態規劃,時間複雜度為O(M*N) 兩層for迴圈巢狀的複雜度為O(M*N), 額外空間複雜度為O(M*N)。當然這絕對不是最好的,空間壓縮之後可以把額外空間複雜度降至O(min{M,N})。程式碼如下,對比即可看出與不用空間壓縮的不同:

public int minHPshuYouhua(int [][] m){
		if(m==null||m.length==0||m[0]==null||m[0].length==0){
			return 1;
		}
		int row = m.length;
		int col = m[0].length;
		int more = Math.max(row, col);
		int less = Math.min(row, col);
		boolean rowMore = row > col? true : false;
		int dp[] = new int[less];
		dp[less-1]=m[row-1][col-1]>0?1:-m[row-1][col-1]+1;
		for(int j= less-2;j>=0;j--){
			// 先算出最後一行的值,這是動態規劃的基本思路,先算出第一行或是第一列的值
			// 空間壓縮之後需要重新動態定位行號與列號
			row = rowMore ? more -1:j;
			col = rowMore ? j : more -1;
			dp[j] = Math.max(dp[j+1]-m[row][col],1);
		}
		int right = 0;
		int down = 0;
		for(int i=more-2;i>=0;i--){
			// 隨著遍歷逐漸算出最後一列的數,寫在此處可以節省一個單獨的for迴圈
			row = rowMore?i : more-1;
			col = rowMore?more-1:i;
			dp[less-1]=Math.max(dp[less-1]-m[row][col],1);
			for(int j=less-2;j>=0;j--){
				//以下兩行為動態規劃的核心程式碼
				//以下兩行為壓縮前 作比較
				/*right=Math.max(dp[i][j+1]-m[i][j], 1);
				down=Math.max(dp[i+1][j]-m[i][j], 1);*/
				right=Math.max(dp[j+1]-m[i][j], 1);
				//壓縮後重新重新整理dp的值
				down=Math.max(dp[j]-m[i][j], 1);
				dp[j]=Math.min(right, down);
			}
		}

		return dp[0];
	}