“梯度下降”顧名思義通過一步一步迭代逼近理想結果，當達到一定的精度或者超過迭代次數才退出，所以所獲得的結果是一個近似值。在其他部落格上面基本都有一個通俗的比喻：從山頂一步步下山。下面將用到幾個概念：
- 步長：移動一步的長度。
- 維度：一個空間的表示方式，通常一個模型引數表示一個維度。比如（x，y）表示的是2維空間。
- 梯度：最陡的那個方向。通過求導獲得。如果是某一維度的梯度，表示在該維度上變化最快的方向，可以通過求該維度（引數）的偏導數獲得。所有引數構成的梯度向量表示空間內該點最陡的方向。關於最陡問題[可以參考]

通常使用梯度下降來解決線性擬合的問題。

一個線性方程可以表示為：

f(θ0,θ1,θ2...θn)=hθ+Jθ
其中假設函式:
hθ=hθ(x1,x2...xn)=θ0+θ1x1+θ1x2+...θnxn
其中θi(i=0,1,2...n) 為模型引數，x1,x2...xn 和y為樣本資料。

錯誤函式:

Jθ=Jθ(x1,x2...xn)=∑i=0m(hθ(xi)−yi)2
通過上式知，錯誤函式越小，f(θ0,θ1,θ2...θn) 就越準確，所以，在進行線性擬合的時候，需要讓錯誤函式最小，而我們的目的是求解模型引數θi(i=0,1,2...n) 。

總體思路是：先隨機設定模型引數的初始值（相當於把一個人放到山的某一地方），通過求偏導得到梯度向量（即移動的方向或者斜率），梯度向量乘以步長就是一步的量。把引數減去步長，得到新的模型引數。不斷更新引數，直到滿足一定條件（人往最陡的方向下山）

下面是第i個引數的梯度，通過求該引數的偏導數獲得：

∂∂θiJθ=∂∂θi(12m∑i=0m(hθ(x1,x2,...xn)−yi)2)=1m∑i=0m((hθ(x1,x2,...xn)−yi)xi)
分別對每一個模型引數（即θ0,θ1,θ2...θn）求偏導，得到梯度向量：
∇θJ=[∂∂θ0Jθ,∂∂θ1Jθ,...∂∂θnJθ]T

某一個引數梯度的幾何意義為：因為這裡一個引數可以代表一個空間維度，所以該引數梯度在一個多維空間中，表示某一點在該維度中變化最快的方向。因此，對於梯度向量，就表示某一點變化最快的方向。

如果S表示步長，那麼S∂∂θiJθ 就表示在第i維度上面移動一步的量。因此∇

θJ 表示在該空間中移動一步的量。

既然已經知道在某一維度中移動一步的量，那麼就可以通過下列函式得到第i維（也就是第i個模型引數）移動之後的值。

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