1.排列

全排列n!

1.1 遞迴法

設一組數p = {r1, r2, r3, … ,rn}, 全排列為perm(p)，pn = p – {rn}。則perm(p) = r1perm(p1), r2perm(p2), r3perm(p3), … , rnperm(pn)。當n = 1時perm(p} = r1。

如：求{1, 2, 3, 4, 5}的全排列

1、首先看最後兩個數4, 5。 它們的全排列為4 5和5 4, 即以4開頭的5的全排列和以5開頭的4的全排列。

由於一個數的全排列就是其本身，從而得到以上結果。

2、再看後三個數3, 4, 5。它們的全排列為3 4 5、3 5 4、 4 3 5、 4 5 3、 5 3 4、 5 4 3 六組數。

即以3開頭的和4,5的全排列的組合、以4開頭的和3,5的全排列的組合和以5開頭的和3,4的全排列的組合.

#include <iostream>
using namespace std;

void Perm(int start, int end, int a[]) {
    //得到全排列的一種情況，輸出結果
    if (start == end) {
        for (int i = 0; i < end; i++)
            cout << a[i] << ' ';
        cout << endl;
        return
 
;
    }
    for (int i = start; i < end; i++) {
        swap(a[start], a[i]);      //交換
        Perm(start + 1, end, a);   //分解為子問題a[start+1,...,end-1]的全排列
        swap(a[i], a[start]);      //回溯
    }
}
int main() {
    int i, n, a[10];
    while (cin >> n, n) {
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            a[i] = i + 1
 
;
        }
        Perm(0, n, a);
    }
    return 0;
}

2.組合

C(n,k)，n個數中任取k個數

2.1 遞迴法

實際上就是在n個數中，標記k個數，然後輸出這k個數的過程。使用一個visited陣列來記錄相應下標的數是否被選中。

#include <iostream>
using namespace std;

void dfs(int pos, int cnt, int n, int k, int a[],bool visited[]) {
    //已標記了k個數，輸出結果
    if (cnt == k) {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            if (visited[i]) cout << a[i] << ' ';
        cout << endl;
        return;
    }

    //處理到最後一個數，直接返回
    if (pos == n) return;

    //如果a[pos]沒有被選中
    if (!visited[pos]) {
        //選中a[pos]
        visited[pos] = true;
        //處理在子串a[pos+1, n-1]中取出k-1個數的子問題
        dfs(pos + 1, cnt + 1, n, k, a,visited);
        //回溯
        visited[pos] = false;   
    }
    //處理在子串a[pos+1, n-1]中取出k個數的問題
    dfs(pos + 1, cnt, n, k, a, visited);
}
int main() {
    int i, n, k;
    while (cin >> n >> k, n || k) 
    {
        int *a = new int[n];
        bool *visited = new bool[n];
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            a[i] = i + 1;
            visited[i] = false;
        }
        dfs(0, 0, n, k, a, visited);
        delete[] a;
        delete[] visited;
    }
    getchar();
    return 0;
}

2.2 ‘01’轉換法

本程式的思路是開一個數組，其下標表示1到n個數，陣列元素的值為1表示其代表的數被選中，為0則沒選中。

首先初始化，將陣列前n個元素置1，表示第一個組合為前n個數。

然後從左到右掃描陣列元素值的“10”組合，找到第一個“10”組合後將其變為“01”組合，同時將其左邊的所有“1”全部移動到陣列的最左端。

當第一個“1”移動到陣列的n-m的位置，即n個“1”全部移動到最右端時，就得到了最後一個組合。

例如求5中選3的組合：

1 1 1 0 0 //1,2,3

1 1 0 1 0 //1,2,4

1 0 1 1 0 //1,3,4

0 1 1 1 0 //2,3,4

1 1 0 0 1 //1,2,5

1 0 1 0 1 //1,3,5

0 1 1 0 1 //2,3,5

1 0 0 1 1 //1,4,5

0 1 0 1 1 //2,4,5

0 0 1 1 1 //3,4,5

#include <iostream>

using namespace std;

//輸出結果
void printRes(int* a, bool* index, int n)
{
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        if (index[i])
        {
            cout << a[i] << " ";
        }
    }
    cout << endl;
}

//檢查最後k個位置是否已全變成0
bool hasDone(bool* index, int n, int k)
{
    for (int i=n-1;i>=n-k;i--)
    {
        if (!index[i])
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

void Comb(int* a, int n, int k)
{
    bool *index = new bool[n]();
    //選中前k個位置
    for (int i = 0; i < k; i++)
    {
        index[i] = true;
    }
    printRes(a, index, n);

    while (!hasDone(index, n, k))
    {
        //從左到右掃描陣列
        for (int i = 0; i < n - 1; i++)
        {
            //找到第一個“10”組合將其變成"01"組合
            if (index[i] && !index[i + 1])
            {
                index[i] = false;
                index[i + 1] = true;

                //將"01"組合左邊的1移到最左邊
                int count = 0;
                for (int j = 0; j < i; j++)
                {
                    if (index[j])
                    {
                        index[j] = false;
                        index[count++] = true;
                    }
                }
                printRes(a, index, n);
                break;
            }
        }
    }
    delete[] index;
}
int main()
{
    int n,k;
    while (cin>>n>>k)
    {
        int *a = new int[n]();
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            a[i] = i+1;
        }
        Comb(a, n, k);
        delete[] a;
    }

    return 0;
}