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幾種常見窗函式及其MATLAB程式實現

阿新 • • 發佈：2019-01-28

洩漏與窗函式頻譜的兩側旁瓣有關，對於窗函式的選用總的原則是，要從保持最大資訊和消除旁瓣的綜合效果出發來考慮問題，儘可能使窗函式頻譜中的主瓣寬度應儘量窄，以獲得較陡的過渡帶；旁瓣衰減應儘量大，以提高阻帶的衰減，但通常都不能同時滿足這兩個要求。頻譜中的如果兩側瓣的高度趨於零，而使能量相對集中在主瓣，就可以較為接近於真實的頻譜。不同的窗函式對訊號頻譜的影響是不一樣的，這主要是因為不同的窗函式，產生洩漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣。訊號的加窗處理，重要的問題是在於根據訊號的性質和研究目的來選用窗函式。圖1是幾種常用的窗函式的時域和頻域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識別精度最高，幅值識別精度最低，如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用矩形窗，例如測量物體的自振頻率等；布萊克曼窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識別精度最低，但幅值識別精度最高；如果分析窄帶訊號，且有較強的干擾噪聲，則應選用旁瓣幅度小的窗函式，如漢寧窗、三角窗等；對於隨時間按指數衰減的函式，可採用指數窗來提高信噪比。表1 是

幾種常用的窗函式的比較。

如果被測訊號是隨機或者未知的，或者是一般使用者對窗函式不大瞭解，要求也不是特別高時，可以選擇漢寧窗，因為它的洩漏、波動都較小，並且選擇性也較高。但在用於校準時選用平頂窗較好，因為它的通帶波動非常小，幅度誤差也較小。

表1 幾種常用的窗函式的比較

名稱

特點

應用

矩形窗

Rectangle

矩形窗使用最多，習慣上不加窗就是使訊號通過了矩形窗。這種窗的優點是主瓣比較集中，缺點是旁瓣較高，並有負旁瓣，導致變換中帶進了高頻干擾和洩漏，甚至出現負譜現象。頻率識別精度最高，幅值識別精度最低，所以矩形窗不是一個理想的窗。

如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用矩形窗，例如測量物體的自振頻率等，也可以用在階次分析中。

漢寧窗

Hanning

又稱升餘弦窗。主瓣加寬並降低，旁瓣則顯著減小，從減小洩漏觀點出發，漢寧窗優於矩形窗．但漢寧窗主瓣加寬，相當於分析頻寬加寬，頻率分辨力下降。它與矩形窗相比，洩漏、波動都減小了,並且選擇性也提高。

是很有用的窗函式。如果測試訊號有多個頻率分量，頻譜表現的十分複雜，且測試的目的更多關注頻率點而非能量的大小，需要選擇漢寧窗。如果被測訊號是隨機或者未知的，選擇漢寧窗。

海明窗

（漢明窗）

Hamming

與漢寧窗都是餘弦窗，又稱改進的升餘弦窗，只是加權係數不同，使旁瓣達到更小。但其旁瓣衰減速度比漢寧窗衰減速度慢。

與漢明窗類似，也是很有用的窗函式。

平頂窗

Flap Top

平頂窗在頻域時的表現就象它的名稱一樣有非常小的通帶波動。

由於在幅度上有較小的誤差，所以這個窗可以用在校準上。

凱塞窗

Kaiser

定義了一組可調的由零階貝塞爾Bessel 函式構成的窗函式，通過調整引數β可以在主瓣寬度和旁瓣衰減之間自由選擇它們的比重。對於某一長度的Kaiser 窗，給定β，則旁瓣高度也就固定了。

布萊克曼窗

Blackman

二階升餘弦窗，主瓣寬，旁瓣比較低，但等效噪聲頻寬比漢寧窗要大一點，波動卻小一點。頻率識別精度最低，但幅值識別精度最高，有更好的選擇性。

常用來檢測兩個頻率相近幅度不同的訊號。

高斯窗

Gaussian

是一種指數窗。主瓣較寬，故而頻率分辨力低；無負的旁瓣，第一旁瓣衰減達一55dB。常被用來截短一些非週期訊號，如指數衰減訊號等。

對於隨時間按指數衰減的函式，可採用指數窗來提高信噪比。

三角窗

（費傑窗）

Fejer

是冪窗的一次方形式。與矩形窗比較，主瓣寬約等於矩形窗的兩倍，但旁瓣小，而且無負旁瓣。

如果分析窄帶訊號，且有較強的干擾噪聲，則應選用旁瓣幅度小的窗函式，如漢寧窗、三角窗等；

切比雪夫窗（Chebyshev）

在給定旁瓣高度下，Chebyshev窗的主瓣寬度最小，具有等波動性，也就是說，其所有的旁瓣都具有相等的高度。

下面是幾種窗函式歸一化DTFT幅度的MATLAB程式:

附上DTFT函式（dtft.m）：

function [ X ] = dtft( x,n,w )

%   Computes Discrete-time Fourier Transform

%   [X] = dtft(x,n,w)

%    X = DTFT values computed at w.frequencies

%    x = finite duration sequence over n

%    n = sample position vector

%    w = frequency location vector

X = x*exp(-j*n'*w);

%

end

矩形窗:

%DTFT of a Rectangular Window, M=10,25,50,101

clc; close all;

Hf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304a');

w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

% M=10

M=10; n=0:M; x=ones(1,length(n));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

ylabel('|X|'); title(['M=10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M=25

M=25; n=0:M; x=ones(1,length(n));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

title(['M=25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M=50

M=50; n=0:M; x=ones(1,length(n));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); 

title('M=50'); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M=101

M=101; n=0:M; x=ones(1,length(n));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|');

title(['M=101']);

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三角窗:

% Triangular Window: 

% DTFT of a Triangular Window,M = 10,25,50,101

clc; close all;

Hf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304b');

w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

% M = 10

M=10; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

x=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 25

M=25; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

title(['M = 25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 50

M=50; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']); 

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 100

M=101;n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']); 

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

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海寧窗:

% Hann Window

% DTFT of a Hann Window, M = 10,25,50,101

clc;close all;

Hf_1 = figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304c');

w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

% M = 10

M=10;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 25

M=25;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

 title(['M = 25']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 50

M=50;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 101

M=101;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

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哈明窗:

% Hamming Window:

clc; close all;

Hf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304d');

w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

% M = 10

M=10; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

 ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 25

M=25; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

title(['M = 25']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 50

M=50; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M=50']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 101

M=101; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi');title(['M=101']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

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