常見排序演算法彙總與分析（下）（基數排序與計數排序）
本篇彙總的演算法將不再是基於比較的排序演算法，因此會突破這類演算法的時間複雜度下界O(nlog2n)。如果有朋友對前面的內容感興趣，可以先去看看常見排序演算法彙總與分析（中）（選擇排序與歸併排序）
我們先來總結基數排序演算法，該演算法在排序過程中不進行比較，而是通過“分配”和“收集”兩個過程來實現的。
基數排序
【基本思想】
首先設立r個佇列，對列編號分別為0～r-1，r為待排序列中元素的基數（例如10進位制數，則r=10），然後按照下面的規則對元素進行分配收集1，先按最低有效位的值，把n個元素分配到上述的r個佇列中，然後從小到大將個佇列中的元素依次收集起來
2，再按次低有效位的值把剛收集起來的關鍵字分配到r個佇列中，重複收集工作
3，重複地進行上述分配和收集，直到最高有效位。（也就是說，如果位數為d，則需要重複進行d次，d由所有元素中最長的一個元素的位數計量）
為什麼這樣就可以完成排序呢？
以從小到大排序為例
首先當按照最低有效位完成分配和收集後，此時得到的序列，是根據元素最低有效位的值從小到大排列的。
當按照次低有效位進行第二次分配和收集後，得到的序列，是先根據元素的次低有效位的值從小到大排列，然後再根據最低有效位的值從小到大排列。
以此類推，當按照最高有效位進行最後一次分配和收集後，得到的序列，是先根據元素的最高有效位的值從小到大排列，再根據次高有效位排列，。。。，再根據次低有效位，再根據最低有效位。自然就完成了每個元素的從小到大排列。
【空間複雜度】O(n+r)
【時間複雜度】
平均情況：O(d(n+r))
因為每一趟分配的時間開銷是O(n)，收集的開銷是O(r)，因此執行d趟的時間開銷為O(d(n+r))，通常d,r為常數
最好情況：O(d(n+r))
最壞情況：O(d(n+r))
【穩定性】穩定
【優點】
穩定排序;時間複雜度可以突破基於關鍵字比較排序法的下界O(n)
【缺點】
需要額外的輔助空間
/** * 基數排序 * @param arr */ public static void radixSort(int[] arr) { //獲得待排序列元素中的最大位數 int maxBit = getMaxBit(arr); //對每一位分別進行分配和收集 for (int bit = 1; bit <= maxBit; bit++) { //分配 List<List<Integer>> buf = distribute(arr, bit); //收集 collect(arr, buf); } } private static void collect(int[] arr, List<List<Integer>> buf) { int i = 0; //收集，依次將每個佇列中的元素讀出 for (List<Integer> temp : buf) { for (int ele : temp) { arr[i++] = ele; } } } private static int getMaxBit(int[] arr) { int maxBit = 0; int len = 0; for (int ele : arr) { //利用字串的length()方法獲得元素位數 len = (ele + "").length(); if (len > maxBit) { maxBit = len; } } return maxBit; } //分配 private static List<List<Integer>> distribute(int[] arr, int bit) { List<List<Integer>> buf = new ArrayList<>(); //構建r個佇列 for (int i = 0; i < 10; i++) { buf.add(new ArrayList<>()); } for (int ele : arr) { int value = getValueByBit(ele, bit); //根據每個元素指定位數上的值，將元素存放到對應的佇列上 buf.get(value).add(ele); } return buf; } //得到指定位數上的值 private static int getValueByBit(int ele, int bit) { //沒有該位，則返回0 int value = 0; String temp = ele + ""; if (temp.length() >= bit) { value = (int) (temp.charAt(temp.length() - bit) - '0'); } return value; }
【本演算法解讀】
演算法針對的是十進位制數，所以r=10
演算法首先獲取到待排序列元素中的最大位數。然後按照基數排序的思想，對元素的每一位進行分配和收集。
分配distribute(）方法：首先構建了r=10個佇列，對應編號即是0~9。根據給定的位數，得到待排序列中每個元素在該位上的值，若元素沒有該位，則返回0。根據每位上的值，將該元素放入相應的佇列。完成一次分配。
收集collect()方法：依次從r個佇列中讀出其中的元素值，並將其存入原始序列中，即完成了一次收集。
【舉個栗子】
對於待排序列413,10,8,28
首先獲取到待排序列的最大位數，即為3。
然後根據每一位的值進行分配和收集，分配過程如下圖：
由於是10進位制數，所以構造10個佇列，0~9。
首先從最低有效位開始，每個元素在該位上對應的值分別是3,0,8,8，根據該值，將對應元素放入對應的佇列。分配結束後，依次從每個佇列上讀取元素值存入原始序列。可以看到一次分配以後，元素已經按照最低有效位從小到大排列。繼續位數逐漸增大，直到最高有效位，重複上述操作即可完成排序。
計數排序
【基本思想】
計數排序是基於非比較排序，主要用於對於一定範圍內的整數進行排序。採用的是空間換時間的方法。針對待排序列中的每一個元素x，得到序列中小於x的元素個數，有了這一資訊可以直接把x放到最終的輸出序列的正確位置上。 計數排序之所以能做到線性時間複雜度是因為使用了索引的思想。
計數排序對輸入的資料有附加的限制條件： 1、輸入的線性表的元素屬於有限偏序集S； 2、設輸入的線性表的長度為n，|S|=k（表示集合S中元素的總數目為k），則k=O(n)。 在這兩個條件下，計數排序的複雜性為O(n)。對於下面我即將給出的演算法，它的限制條件是待排序列中的元素是有限個正整數（包括0，由於將元素值作為陣列下標），最大值用k=O(n)表示，元素個數用n表示。它利用元素的實際值來確定它們在輸出序列中的位置
【空間複雜度】O(n+k)
【時間複雜度】
平均情況：O(n+k)
最好情況：O(n+k)
最壞情況：O(n+k)
【穩定性】穩定
【優點】
穩定，在k值較小時突破了基於比較的排序演算法下界
【缺點】
存在前提條件，需要大量額外空間，k值較大時效率很低
/**
* 計數排序
* @param arr
*/
public static void countSort(int[] arr) {
int max = getMax(arr);
int count[] = new int[max + 1]; //此時陣列中元素值均被初始化為0
//在以元素值為
for (int ele : arr) {
count[ele]++;
}
int k = 0;
for (int i = 0; i <= max; i++) {
for (int j = 0; j < count[i]; j++) {
arr[k++] = i;
}
}
}
//獲得待排元素中的最大值
private static int getMax(int[] arr) {
int max = 0;
for (int ele : arr) {
if (ele > max) {
max = ele;
}
}
return max;
}【本演算法解讀】
可以看到演算法首先獲得待排序列元素中的最大值，然後構建最大值+1的長度的計數陣列。遍歷待排序列的每個元素，並在以元素值為下標的陣列值中加1。然後遍歷計數陣列，若對應下標的位置上值大於0（等於幾就表示有幾個元素），則表示存在有元素且其值為下標的大小。將該元素新增到原始序列中。由於下標是從小到大的，所以對應得到的序列也是從小到大排列的。【舉個栗子】
對於待排序列4,0,2,8,2
首先獲取最大值即為0，然後構建8+1長度的計數陣列。初始化時，計數陣列中的值均為0.如下圖所示：
最後過遍歷計數陣列，如，遍歷到0下標位置，陣列值為1，表示有一個元素，元素值是下標0，新增到原始序列中。遍歷到2下標位置，陣列值為2，表示有兩個元素，元素值均為下標2，將兩個元素依次新增到原始序列中。以此類推，最終得到有序序列0,2,2,4,8。
那麼，到這裡我們這個常用排序演算法的彙總就順利完成了。本彙總分析了常用排序演算法中的，交換排序（氣泡排序，快速排序），插入排序（直接插入排序，希爾排序），選擇排序（直接選擇排序，堆排序），歸併排序，基數排序，計數排序。應該說是這個總結是暫時告一段落了，後面遇到一些好的演算法，還會繼續與大家分享。
為了方便大家，我已將本系列中用到的所有演算法原始碼（java實現）上傳至CSDN，需要的朋友可以點此下載
如有紕漏，敬請海涵。