在Matlab中fft就是一個現成的函式，看別人的程式碼模仿著用了，但是不懂FFT畫出來的圖什麼意思？本文對這篇博文中分析的例子進行了學習。

    FFT（Fast Fourier Transformation）為一階快速傅立葉變換函式，在數字訊號處理中有著廣泛的應用，變換結果為複數。有些訊號在時域上很難看出變化特徵，但如果變換到頻域之後，就很容易看出特徵了。FFT把時域訊號變換到頻域上，直觀的看各頻率上的訊號強弱。

    一個模擬訊號，經過ADC取樣之後，就變成了數字訊號。取樣定理告訴我們，取樣頻率要大於訊號頻率的兩倍。取樣得到的數字訊號，就可以做FFT變換了。N個取樣點，經過FFT之後，就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方。做FFT分析時，幅值大小與FFT選擇的點數有關，但是不影響分析結果。

    假設取樣頻率為Fs，訊號頻率F，取樣點數為N。那麼FFT之後結果就是一個為N點的複數。每一個點就對應著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始訊號的幅度有什麼關係呢？假設原始訊號的峰值為A，那麼FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的訊號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最後一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這裡是假設的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最後）則表示取樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點

    由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率為為Fs/N，如果取樣頻率Fs為1024Hz，取樣點數為1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的取樣率取樣1024點，剛好是1秒，也就是說，取樣1秒時間的訊號並做FFT，則結果可以分析到1Hz，如果取樣2秒時間的訊號並做FFT，則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加取樣點數，也即取樣時間。頻率解析度和取樣時間是倒數關係。

    假設FFT之後某點n用複數a+bi表示，那麼這個複數的模就是An=sqrt(a*a+b*b)，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，就可以計算出

An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)                                                    (1)

即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對於n=1點的訊號，是直流分量，幅度即為A1/N。由於FFT結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小於取樣頻率一半的結果。

    假設有一個訊號由如下三個分量組成：1）一個2V的直流分量；2）一個頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流訊號；3）一個頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流訊號。其數學表達如下：

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

式中cos引數為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。

    假設以256Hz的取樣率對這個訊號進行取樣，總共取樣256點。由前面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，可知：每兩個點之間的間距為1Hz，第n個點的頻率就是n-1。訊號S有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應該分別在第1個點、第51個點、第76個點上出現峰值，其它各點應該接近0。實際情況如何呢？我們來看看FFT的結果的模值如圖所示。

    從圖中可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有較大值。分別將這三個點附近的資料拿上來細看：

用Z = fft(S);

                       Y                                                 模值Z

第1個點：       512                                              512

第2個點：       5.2686e-16- 1.4128e-13i           1.4129e-13

第3個點：2.1411e-15- 1.1718e-13i           1.1720e-13

第50個點：1.8103e-12- 1.3394e-12i           2.2519e-12

第51個點：     2.9281e+02+ 2.4843e+02i         384

第52個點：     9.3193e-13- 2.0432e-12i           2.2457e-12

第75個點：     1.0239e-12+ 5.0058e-14i          1.0251e-12

第76個點：     -1.8505e+02- 5.1209e+01i        192.0000

第77個點：     -7.2171e-13- 2.2549e-13i          7.5612e-13

用Z =fft(S,N);

                     Y                                              模值Z

第1個點：    512.0000                                   512.0000

第2個點：    -2.6195e-14- 1.4162e-13i         1.4402e-13

第3個點：    -2.8586e-14- 1.1898e-13i         1.2237e-13

第50個點：  -6.2076e-13- 2.1713e-12i         2.2583e-12

第51個點：  3.3255e+02 - 1.9200e+02i        384.0000

第52個點：  -1.6707e-12- 1.5241e-12i         2.2614e-12

第75個點：  -2.2199e-13- 1.0076e-12i         1.0317e-12

第76個點：  3.4386e-12 + 1.9200e+02i        192.0000

第77個點：  -3.0263e-14+ 7.5609e-13i        7.5670e-13

很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0，即在那些頻率點上的訊號幅度為0。

接著，我們來計算各點的幅度值。由公式（1）可知，給定模值An，它對應的幅度為：An/(N/2)。對於n=1點的訊號，是直流分量，幅度即為A1/N。因此，直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz訊號的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz訊號的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。

然後再來計算相位資訊。直流訊號沒有相位可言，不用管它。先計算50Hz訊號的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236，結果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算75Hz訊號的相位，atan2(192,3.4386e-12)=1.5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。

總結：假設取樣頻率為Fs，取樣點數為N，做FFT之後，某一點n（n從1開始）表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N；該點的模值除以N/2就是對應該頻率下的訊號的幅度（對於直流訊號是除以N）；該點的相位即是對應該頻率下的訊號的相位。相位的計算可用函式atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求座標為(a,b)點的角度值，範圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要取樣長度為1/x秒的訊號，並做FFT。要提高頻率解析度，就需要增加取樣點數，這在一些實際的應用中是不現實的，需要在較短的時間內完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的方法是取樣比較短時間的訊號，然後在後面補充一定數量的0，使其長度達到需要的點數，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細分法可參考相關文獻。

注意：

Z = fft(S,N); 

Z = fft(S);

計算出來的精確的Z值不一樣。

subplot(2,1,2),plot(abs(fftshift(fft(S)))),title('S fftshift');

 參考：