26.1-4

• 問題描述
  設f為網路的一個流，設α為一個實數，則αf稱為標量流積，該標量流積是一個從V×V到R的一個函式，其定義如下：
  (αf)(u,v)=α⋅f(u,v)
  證明：網路中的流形成一個凸集。也就是說，證明：如果f1和f2為兩個流，則αf1+(1−α)f2也是一個流，這裡0≤α≤1。
• 問題分析
  需要由“如果f1和f2為兩個流”推出”αf1+(1−α)f2也是一個流”。那麼就要證明αf1+(1−α)f2符合容量限制和流量守恆兩條性質。
• 問題求解
  I 對於所有的結點u,v∈V，0≤f1(u,v)≤c(u,v),0≤f2(u,v)≤c(u,v)。則0≤αf1(u,v)+(1−α)f2
  (u,v)≤αc(u,v)+(1−α)c(u,v)=c(u,v)。即αf1+(1−α)f2符合容量限制性質。
  II 對於所有的結點u∈V−{s,t}
  ∑v∈Vαf1(v,u)+(1−α)f2(v,u)≤α∑v∈Vf1(v,u)+(1−α)∑v∈Vf2(v,u)≤α∑v∈Vf1(u,v)+(1−α)∑v∈Vf2(u,v)≤∑v∈Vαf1(u,v)+(1−α)f2(u,v)
  即αf1+(1−α)f2符合流量守恆性質。