藍橋杯 地宮尋寶

X 國王有一個地宮寶庫。是 n x m 個格子的矩陣。每個格子放一件寶貝。每個寶貝貼著價值標簽。

地宮的入口在左上角，出口在右下角。

小明被帶到地宮的入口，國王要求他只能向右或向下行走。

走過某個格子時，如果那個格子中的寶貝價值比小明手中任意寶貝價值都大，小明就可以拿起它（當然，也可以不拿）。

當小明走到出口時，如果他手中的寶貝恰好是k件，則這些寶貝就可以送給小明。

請你幫小明算一算，在給定的局面下，他有多少種不同的行動方案能獲得這k件寶貝。

【數據格式】

輸入一行3個整數，用空格分開：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)

接下來有 n 行數據，每行有 m 個整數 Ci (0<=Ci<=12)代表這個格子上的寶物的價值

要求輸出一個整數，表示正好取k個寶貝的行動方案數。該數字可能很大，輸出它對 1000000007 取模的結果。

例如，輸入：
2 2 2
1 2
2 1
程序應該輸出：
2

再例如，輸入：
2 3 2
1 2 3
2 1 5
程序應該輸出：
14

資源約定：
峰值內存消耗（含虛擬機） < 256M
CPU消耗 < 2000ms

請嚴格按要求輸出，不要畫蛇添足地打印類似：“請您輸入...” 的多余內容。

所有代碼放在同一個源文件中，調試通過後，拷貝提交該源碼。
註意：不要使用package語句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
註意：主類的名字必須是：Main，否則按無效代碼處理。

題解：

　　先%一發我偉大的隊長 傑哥tql

　　引入：m×n的方格，從左下角走到右上角，總共的路徑為C(m+n) m = C(m+n) n

 1 #include<cstdio>
 2 #define ll long long
 3 int val[58][58];
 4 ll C[118][118],dp[58][58][18]={0},mod=1000000007;
 5 //dp[x][y][k]表示x,y位置上的寶物作為第k個被拿的方案數 
 6 void init()//求組合數 
 7 {
 8     C[0][0]=1;
 9     for(int i=1;i<=100;i++)
10     {
11         C[i][0]=1
 
;
12         for(int j=1;j<=i;j++)
13         {
14             if(j<=i/2)
15                 C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
16             else
17                 C[i][j]=C[i][i-j]; 
18         }
19     }
20 }
21 int main()
22 {
23     init();
24     int n,m,K;
25     scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
26     for(int i=0;i<n;i++)
27         for(int j=0;j<m;j++)
28             scanf("%d",&val[i][j]);
29     ll ans=0;
30     for(int i=0;i<n;i++)
31         for(int j=0;j<m;j++)
32         {
33             //i,j位置上的寶物是第一個被拿的方案數即從開始地點走到i,j位置的方案數 
34             dp[i][j][1]=C[i+j][i];
35             for(int k=i;k>=0;k--)//這兩層循環表示i,j位置可以由哪些位置走到 
36                 for(int l=j;l>=0;l--)
37                 {
38                     if(val[k][l]<val[i][j])
39                         for(int t=2;t<=K;t++)
40                             dp[i][j][t]=(dp[i][j][t]+(dp[k][l][t-1]*C[i-k+j-l][i-k])%mod)%mod;//C[i-k+j-l][i-k]相當於從k,l位置走到i,j位置的方案數 
41                 }
42             ans=(ans+(dp[i][j][K]*C[n-1-i+m-1-j][n-1-i])%mod)%mod;//從i,j位置到n-1,m-1位置的方案數 
43         }    
44     printf("%lld\n",ans);
45     return 0;
46 }

以及大眾化的記憶化搜索寫法：

 1 import java.util.Scanner;
 2 
 3 public class Main {
 4     static int[][][][] dp = new int[55][55][15][15];
 5     static int[][] a = new int[55][55];
 6     static int[][] vis = new int[55][55];
 7     static int[][] dir =  {{0,1},{1,0}};
 8     static int mod = 1000000007;
 9     static int n,m,k; 
10     static int dfs(int x,int y,int step,int maxv) {
11         if(dp[x][y][step][maxv]!=-1) 
12             return dp[x][y][ step][maxv];
13         int cnt = 0;
14         if(x==n-1&&y==m-1) { 
15             if((step == k-1&&maxv<a[x][y])||(step==k)) {
16                 return dp[x][y][step][maxv] = 1;
17             }
18             return dp[x][y][step][maxv] = 0;
19         }
20         for(int i=0;i<2;i++) {
21             int tx = x+dir[i][0];
22             int ty = y+dir[i][1];
23             if(tx<0||ty<0||tx>=n||ty>=m||vis[tx][ty]==1) {
24                 continue;
25             }
26             vis[tx][ty] = 1;
27             if(a[x][y]>maxv) {
28                 cnt = (cnt+dfs(tx, ty, step+1, a[x][y]))%mod;
29             }
30             cnt = (cnt + dfs(tx, ty, step, maxv))%mod;
31             vis[tx][ty] = 0;
32         }
33         return dp[x][y][step][maxv] = cnt%mod;
34     }
35     public static void main(String[] args) {
36         Scanner cin = new Scanner(System.in);
37         n = cin.nextInt();
38         m = cin.nextInt();
39         k = cin.nextInt();
40         for(int i=0;i<55;i++)
41             for(int j=0;j<55;j++)
42                 for(int k=0;k<15;k++)
43                     for(int l=0;l<15;l++)
44                         dp[i][j][k][l] = -1;
45         for(int i=0;i<n;i++)
46             for(int j=0;j<m;j++) {
47                 a[i][j] = cin.nextInt();
48                 a[i][j]++;
49             }
50                 
51         
52         System.out.println(dfs(0,0,0,0));
53     }
54 
55 }

藍橋杯 地宮尋寶（DP or DP+記憶化搜索）