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向量點乘(內積)和叉乘(外積、向量積)概念及幾何意義解讀(經典)

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向量是由n個實陣列成的一個n行1列(n*1)或一個1行n列(1*n)的有序陣列;

向量的點乘,也叫向量的內積、數量積,對兩個向量執行點乘運算,就是對這兩個向量對應位一一相乘之後求和的操作,點乘的結果是一個標量

點乘公式

對於向量a和向量b:

                                                           

a和b的點積公式為:

要求一維向量a和向量b的行列數相同。

點乘幾何意義

點乘的幾何意義是可以用來表徵或計算兩個向量之間的夾角,以及在b向量在a向量方向上的投影

,有公式:


推導過程如下,首先看一下向量組成:


定義向量:


根據三角形餘弦定理有:


根據關係c=a-b(a、b、c均為向量)有:


即:


向量a,b的長度都是可以計算的已知量,從而有a和b間的夾角θ:


根據這個公式就可以計算向量a和向量b之間的夾角。從而就可以進一步判斷這兩個向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向關係,具體對應關係為:


     a·b>0    方向基本相同,夾角在0°到90°之間

     a·b=0    正交,相互垂直  

     a·b<0    方向基本相反,夾角在90°到180°之間 

叉乘公式

兩個向量的叉乘,又叫向量積、外積、叉積,叉乘的運算結果是一個向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量組成的座標平面垂直。

對於向量a和向量b:


a和b的叉乘公式為:


其中:


根據i、j、k間關係,有:

叉乘幾何意義

在三維幾何中,向量a和向量b的叉乘結果是一個向量,更為熟知的叫法是法向量,該向量垂直於a和b向量構成的平面。

在3D影象學中,叉乘的概念非常有用,可以通過兩個向量的叉乘,生成第三個垂直於a,b的法向量,從而構建X、Y、Z座標系。如下圖所示: 

在二維空間中,叉乘還有另外一個幾何意義就是:aXb等於由向量a和向量b構成的平行四邊形的面積。