證明一個公式，X是一個非負的隨機變數，則 E[X]=∫+∞0(1−F(t))dt
其中E[X] 是隨機變數X的期望，F(x)=P{X<=x}是隨機變數的分佈函式。
下面證明方法一應該是正確的。證明方法二，由於學習功力不夠，未能保證每一步都是嚴謹的，如果有誤，煩請指正。
證法一：
當X是離散隨機變數時，

∫+∞0(1−F(t))dt

=∑+∞t=0P(X>t)

=∑+∞t=0∑+∞x=t+1P(X=x)

=∑+∞x=1∑x−1t=0P(X=x)

=∑+∞x=1xP(X=x)

=E[X]

當X是連續隨機變數時，記X的密度函式為f(x),

∫+∞0(1−F(t))dt

=∫

=∫+∞0∫+∞tf(x)dxdt

=∫+∞0∫x0f(x)dtdx

=∫+∞0xf(x)dx

=E[X]

命題得證。
證法二：
首先證明

limx→+∞(x(1−F(x)))=0 .

對於任意的x>=0， 1−F(x)>=0，因此有

limx→+∞(x(1−F(x)))>=0。

另外，limx→+∞(x(1−F(x)))

=limx→+∞(x(1−∫x0f(t)dt))

=limx→+∞(x∫+∞xf(t)dt))

≤limx→+∞(∫+∞xtf(t)dt))

=0

因此，limx→+∞(x(1−F(x)))=0