從入門到入土：矩陣樹Matrix-Tree定理
參考blog

在正式介紹Matrix_Tree定理之前，我們需要一些前置知識

一些定義與定理

• 對於一個無向圖G$G$，ta的生成樹個數等於其基爾霍夫Kirchhhoff矩陣任何一個N−1$N-1$階主子式的行列式的絕對值

• 所謂N−1$N-1$階主子式就是對於任意的一個r，將矩陣的第r$r$行和第r$r$列同時刪去得到的新矩陣

• 基爾霍夫Kirchhoff矩陣的一種求法：
  基爾霍夫KirchhoffK=$KirchhoffK=$度數矩陣D−$D-$鄰接矩陣A$A$

基爾霍夫Kirchhoff$Kirchhoff$矩陣的具體求法

• 度數矩陣D$D$：是一個N∗N$N\ast$

  N的矩陣，其中
  D[i][j]=0(i≠j),D[i][i]=i號點的度數$D[i][j]=0(i\ne j),D[i][i]=i號點的度數$

• 鄰接矩陣A$A$：是一個N∗N$N\ast N$的矩陣，其中
  A[i][i]=0,A[i][j]=A[j][i]=i,j之間的邊數$A[i][i]=0,A[i][j]=A[j][i]=i,j之間的邊數$

• 基爾霍夫KirchhoffK=$KirchhoffK=$度數矩陣D−$D-$鄰接矩陣A$A$

舉個例子：

行列式det(K)求法

得到基爾霍夫矩陣後，隨便去掉某一行某一列並計算出新矩陣的行列式，其絕對值即為生成樹個數

其中P$P$為1−N$1-N$的任意一個排列，τ(P)$\tau (P)$表示排列P$P$逆序對數
而那個求和的每一項可以看做是在矩陣中選出N$N$個數，這N$N$個數不同行不同列

不大明白？
看一個形象的表示方法：

在這個N=3$N=3$的矩陣中，每一條線就代表著K1,p1×K2,p2×...×KN,pN$K_{1,p_1}\times K_{2,p_2}\times ...\times K_{N,p_N}$

那麼τ(P)$\tau (P)$又是什麼呢？
主要看兩數連線的方向了，方向為 \ 的，表示連線的兩個數之間無逆序關係，方向為 / 的，表示連線的兩個數之間有逆序關係
具體怎麼計算呢？
對於選中的一個序列，把每一行選中的數依次與ta的上一行，上上一行直至第一行選中的數連線
若連線方向為 \ ，則無逆序關係，方向為 /，則累加一個逆序數
第一行因為沒有上一行，所以逆序數為0

舉個例子：

淡藍色（青色，水藍色，管你叫什麼顏色）的線就是我們選中的排列
a1,4$a_{1,4}$沒有上一行，逆序數=0
a2,1$a_{2,1}$與