快速冪取模詳解(C語言版)
在百度文庫上下載的快速冪詳解,作者給出快速冪演算法的完整解釋(雖然我也還沒看懂,但是確實寫的很好,正在仔細研究中)用的是C語言，不同語言的讀者只好換個位啦，畢竟讀C的人較多~(原網址http://wenku.baidu.com/link?url=AQNEjQ6S-31iyRQ0vDVjuVS4xdKfmIADSEe5_5swdE2Vggly8BrTLcSjBxhKHQsL-WP4wzQjz7XpVcdCuNNTzsBW7oi7-pbzNAisd4-0ypy)
所謂的快速冪，實際上是快速冪取模的縮寫，簡單的說，就是快速的求一個冪式的模(餘)。在程式設計過程中，經常要去求一些大數對於某個數的餘數，為了得到更快、計算範圍更大的演算法，產生了快速冪取模演算法
我們先從簡單的例子入手：求= 幾。
演算法1.首先直接地來設計這個演算法：
int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;這個演算法的時間複雜度體現在for迴圈中，為O（b）.這個演算法存在著明顯的問題，如果a和b過大，很容易就會溢位。
那麼，我們先來看看第一個改進方案：在講這個方案之前，要先有這樣一個公式：
.這個公式大家在離散數學或者數論當中應該學過，不過這裡為了方便大家的閱讀，還是給出證明：
引理1：
上面公式為下面公式的引理，即積的取餘等於取餘的積的取餘。
證明了以上的公式以後，我們可以先讓a關於c取餘，這樣可以大大減少a的大小，
於是不用思考的進行了改進：
演算法2：
int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;聰明的讀者應該可以想到，既然某個因子取餘之後相乘再取餘保持餘數不變，那麼新算得的ans也可以進行取餘，所以得到比較良好的改進版本。
演算法3：
int ans = 1; a = a % c; //加上這一句 for(int i = 1;i<=b;i++) { ans = (ans * a)% c;//這裡再取了一次餘 } ans = ans % c;
這個演算法在時間複雜度上沒有改進，仍為O(b)，不過已經好很多的，但是在c過大的條件下，還是很有可能超時，所以，我們推出以下的快速冪演算法。
快速冪演算法依賴於以下明顯的公式，我就不證明了。
有了上述兩個公式後，我們可以得出以下的結論：
1.如果b是偶數，我們可以記k = a2mod c，那麼求(k)b/2 mod c就可以了。
2.如果b是奇數，我們也可以記k =a2 mod c，那麼求
((k)b/2 mod c × a ) mod c =((k)b/2 mod c * a) mod c 就可以了。
那麼我們可以得到以下演算法：
演算法4：
int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
ans = (ans *a) mod c; //如果是奇數，要多求一步，可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我們取a2而不是a
for(int i = 1;i<=b/2;i++)
{
ans = (ans *k) % c;
}
ans = ans % c;我們可以看到，我們把時間複雜度變成了O(b/2).當然，這樣子治標不治本。但我們可以看到，當我們令k = (a * a)mod c時，狀態已經發生了變化，我們所要求的最終結果即為(k)b/2 mod c而不是原來的ab mod c，所以我們發現這個過程是可以迭代下去的。當然，對於奇數的情形會多出一項a mod c，所以為了完成迭代，當b是奇數時，我們通過
ans = (ans * a) % c;來彌補多出來的這一項，此時剩餘的部分就可以進行迭代了。
形如上式的迭代下去後，當b=0時，所有的因子都已經相乘，演算法結束。於是便可以在O（log b）的時間內完成了。於是，有了最終的演算法：快速冪演算法。
演算法5：快速冪演算法
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
if(b % 2 == 1)
ans = (ans * a) % c;
b = b/2;
a = (a * a) % c;
}將上述的程式碼結構化，也就是寫成函式：
int PowerMod(int a, int b, int c)
{
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
if(b % 2 = = 1)
ans = (ans * a) % c;
b = b/2;
a = (a * a) % c;
}
return ans;
}本演算法的時間複雜度為O（logb），能在幾乎所有的程式設計（競賽）過程中通過，是目前最常用的演算法之一。
By 夜せ︱深