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神經網路入門之Logistic迴歸(分類問題)

Logistic迴歸(分類問題)

這部分教程將介紹一部分:

  • Logistic分類模型

我們在上次的教程中給出了一個很簡單的模型,只有一個輸入和一個輸出。在這篇教程中,我們將構建一個二分類模型,輸入引數是兩個變數。這個模型在統計上被稱為Logistic迴歸模型,網路結構可以被描述如下:


Logistic迴歸模型

我們先匯入教程需要使用的軟體包。

import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
from matplotlib.colors import colorConverter, ListedColormap
from matplotlib import
cm

定義類分佈

在教程中,目標分類t將從兩個獨立分佈中產生,當t=1時,用藍色表示。當t=0時,用紅色表示。輸入引數X是一個N*2的矩陣,目標分類t是一個N * 1的向量。更直觀的表現,見下圖。

# Define and generate the samples
nb_of_samples_per_class = 20  # The number of sample in each class
red_mean = [-1,0]  # The mean of the red class
blue_mean = [1,0]  # The mean of the blue class
std_dev
= 1.2 # standard deviation of both classes # Generate samples from both classes x_red = np.random.randn(nb_of_samples_per_class, 2) * std_dev + red_mean x_blue = np.random.randn(nb_of_samples_per_class, 2) * std_dev + blue_mean # Merge samples in set of input variables x, and corresponding set of output variables t
X = np.vstack((x_red, x_blue)) t = np.vstack((np.zeros((nb_of_samples_per_class,1)), np.ones((nb_of_samples_per_class,1))))
# Plot both classes on the x1, x2 plane
plt.plot(x_red[:,0], x_red[:,1], 'ro', label='class red')
plt.plot(x_blue[:,0], x_blue[:,1], 'bo', label='class blue')
plt.grid()
plt.legend(loc=2)
plt.xlabel('$x_1$', fontsize=15)
plt.ylabel('$x_2$', fontsize=15)
plt.axis([-4, 4, -4, 4])
plt.title('red vs. blue classes in the input space')
plt.show()

red vs. blue classes in the input space

Logistic函式和交叉熵損失函式

Logistic函式

我們設計的網路的目的是從輸入的x去預測目標t。假設,輸入x = [x1, x2],權重w = [w1, w2],預測目標t = 1。那麼,概率P(t = 1|x, w)將是神經網路輸出的y,即y = σ(x∗wT)。其中,σ表示Logistic函式,定義如下:


Logistic函式

如果,對於Logistic函式和它的導數還不是很清楚的,可以檢視這個教程,裡面進行了詳細描述。

交叉熵損失函式

對於這個分類問題的損失函式優化,我們使用交叉熵誤差函式來解決,對於每個訓練樣本i,交叉熵誤差函式定義如下:


每個樣本i的交叉熵誤差函式

如果我們要計算整個訓練樣本的交叉熵誤差,那麼只需要把每一個樣本的值進行累加就可以了,即:


交叉熵誤差函式

關於交叉熵誤差函式更加詳細的介紹可以看這個教程

logistic(z)函式實現了Logistic函式,cost(y, t)函式實現了損失函式,nn(x, w)實現了神經網路的輸出結果,nn_predict(x, w)實現了神經網路的預測結果。

# Define the logistic function
def logistic(z): 
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

# Define the neural network function y = 1 / (1 + numpy.exp(-x*w))
def nn(x, w): 
    return logistic(x.dot(w.T))

# Define the neural network prediction function that only returns
#  1 or 0 depending on the predicted class
def nn_predict(x,w): 
    return np.around(nn(x,w))

# Define the cost function
def cost(y, t):
    return - np.sum(np.multiply(t, np.log(y)) + np.multiply((1-t), np.log(1-y)))
# Plot the cost in function of the weights
# Define a vector of weights for which we want to plot the cost
nb_of_ws = 100 # compute the cost nb_of_ws times in each dimension
ws1 = np.linspace(-5, 5, num=nb_of_ws) # weight 1
ws2 = np.linspace(-5, 5, num=nb_of_ws) # weight 2
ws_x, ws_y = np.meshgrid(ws1, ws2) # generate grid
cost_ws = np.zeros((nb_of_ws, nb_of_ws)) # initialize cost matrix
# Fill the cost matrix for each combination of weights
for i in range(nb_of_ws):
    for j in range(nb_of_ws):
        cost_ws[i,j] = cost(nn(X, np.asmatrix([ws_x[i,j], ws_y[i,j]])) , t)
# Plot the cost function surface
plt.contourf(ws_x, ws_y, cost_ws, 20, cmap=cm.pink)
cbar = plt.colorbar()
cbar.ax.set_ylabel('$\\xi$', fontsize=15)
plt.xlabel('$w_1$', fontsize=15)
plt.ylabel('$w_2$', fontsize=15)
plt.title('Cost function surface')
plt.grid()
plt.show()

Cost function surface
梯度下降優化損失函式

梯度下降演算法的工作原理是損失函式ξ對於每一個引數的求導,然後沿著負梯度方向進行引數更新。

引數w按照一定的學習率沿著負梯度方向更新,即w(k+1)=w(k)−Δw(k+1),其中Δw可以表示為:


Δw

對於每個訓練樣本i∂ξi/∂w計算如下:


損失函式對於權重的導數

其中,yi=σ(zi)是神經元的Logistic輸出,zi=xi∗wT是神經元的輸入。

在詳細推導損失函式對於權重的導數之前,我們先這個教程中摘取幾個推導。


分步推導

參考上面的分步推導,我們可以得到下面的詳細推導:


詳細推導

因此,對於每個權重的更新Δwj可以表示為:


每個權重的更新

在批處理中,我們需要將N個樣本的梯度都進行累加,即:


批處理更新

在開始梯度下降演算法之前,你需要對引數都進行一個隨機數賦值過程,然後採用梯度下降演算法更新引數,直至收斂。

gradient(w, x, t)函式實現了梯度∂ξ/∂wdelta_w(w_k, x, t, learning_rate)函式實現了Δw

# define the gradient function.
def gradient(w, x, t):
    return (nn(x, w) - t).T * x

# define the update function delta w which returns the 
#  delta w for each weight in a vector
def delta_w(w_k, x, t, learning_rate):
    return learning_rate * gradient(w_k, x, t)
梯度下降更新

我們在訓練集X上面執行10次去做預測,下圖中畫出了前三次的結果,圖中藍色的點表示在第k次,w(k)的值。

# Set the initial weight parameter
w = np.asmatrix([-4, -2])
# Set the learning rate
learning_rate = 0.05

# Start the gradient descent updates and plot the iterations
nb_of_iterations = 10  # Number of gradient descent updates
w_iter = [w]  # List to store the weight values over the iterations
for i in range(nb_of_iterations):
    dw = delta_w(w, X, t, learning_rate)  # Get the delta w update
    w = w-dw  # Update the weights
    w_iter.append(w)  # Store the weights for plotting
# Plot the first weight updates on the error surface
# Plot the error surface
plt.contourf(ws_x, ws_y, cost_ws, 20, alpha=0.9, cmap=cm.pink)
cbar = plt.colorbar()
cbar.ax.set_ylabel('cost')

# Plot the updates
for i in range(1, 4): 
    w1 = w_iter[i-1]
    w2 = w_iter[i]
    # Plot the weight-cost value and the line that represents the update
    plt.plot(w1[0,0], w1[0,1], 'bo')  # Plot the weight cost value
    plt.plot([w1[0,0], w2[0,0]], [w1[0,1], w2[0,1]], 'b-')
    plt.text(w1[0,0]-0.2, w1[0,1]+0.4, '$w({})$'.format(i), color='b')
w1 = w_iter[3]  
# Plot the last weight
plt.plot(w1[0,0], w1[0,1], 'bo')
plt.text(w1[0,0]-0.2, w1[0,1]+0.4, '$w({})$'.format(4), color='b') 
# Show figure
plt.xlabel('$w_1$', fontsize=15)
plt.ylabel('$w_2$', fontsize=15)
plt.title('Gradient descent updates on cost surface')
plt.grid()
plt.show()

weight updates on the error surface
訓練結果視覺化

下列程式碼,我們將訓練的結果進行視覺化。

# Plot the resulting decision boundary
# Generate a grid over the input space to plot the color of the
#  classification at that grid point
nb_of_xs = 200
xs1 = np.linspace(-4, 4, num=nb_of_xs)
xs2 = np.linspace(-4, 4, num=nb_of_xs)
xx, yy = np.meshgrid(xs1, xs2) # create the grid
# Initialize and fill the classification plane
classification_plane = np.zeros((nb_of_xs, nb_of_xs))
for i in range(nb_of_xs):
    for j in range(nb_of_xs):
        classification_plane[i,j] = nn_predict(np.asmatrix([xx[i,j], yy[i,j]]) , w)
# Create a color map to show the classification colors of each grid point
cmap = ListedColormap([
        colorConverter.to_rgba('r', alpha=0.30),
        colorConverter.to_rgba('b', alpha=0.30)])

# Plot the classification plane with decision boundary and input samples
plt.contourf(xx, yy, classification_plane, cmap=cmap)
plt.plot(x_red[:,0], x_red[:,1], 'ro', label='target red')
plt.plot(x_blue[:,0], x_blue[:,1], 'bo', label='target blue')
plt.grid()
plt.legend(loc=2)
plt.xlabel('$x_1$', fontsize=15)
plt.ylabel('$x_2$', fontsize=15)
plt.title('red vs. blue classification boundary')
plt.show()

訓練結果視覺化