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第一眼看著就像容斥，但是容斥不怎麽好做……

第二眼想到錯排，結果錯排公式糊上去錯了……

不難考慮到可以先選\(K\)對情侶坐在一起，剩下\(N-K\)對錯排

選\(K\)對情侶坐在一起的方案數是：

選情侶的方案數\(C_N^K \times\)選椅子的方案數\(C_N^K\times\)情侶坐的椅子可以任意排列\(K!\times\)情侶之間可以互換位置\(2^K\)=\((C_N^K)^2K!2^K\)

然後考慮這個錯排

實際上直接糊錯排公式是很難對的，至少我不會直接用錯排公式搞出來……

設\(f_i\)表示\(i\)對情侶錯排的方案數

轉移時枚舉兩個不是情侶的人，有\(2i \times (2i-2)\)

然後考慮TA們的配偶：

①兩個配偶坐在了一起，$f_i \leftarrow 2i \times (2i - 2) \times (i-1) \times 2 \times f_{i-2} $，中間的\(2\)是這兩個配偶可以交換位置

②沒有坐在一起，就相當於一個規模為\(i-1\)的錯排，\(f_i \leftarrow 2i \times (2i-2) \times f_{i-1}\)

預處理階乘、\(2\)的次冪就可以\(O(1)\)回答詢問。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<stack>
#include<vector>
#include<cmath>
//This code is written by Itst
using namespace std;

inline int read(){
    int a = 0;
    char c = getchar();
    bool f = 0;
    while(!isdigit(c) && c != EOF){
        if(c == ‘-‘)
            f = 1;
        c = getchar();
    }
    if(c == EOF)
        exit(0);
    while(isdigit(c)){
        a = a * 10 + c - 48;
        c = getchar();
    }
    return f ? -a : a;
}

#define int long long
const int MOD = 998244353 , MAXN = 5e6 + 9;
int shuf[MAXN] , jc[MAXN] , inv[MAXN] , pow2[MAXN];

inline int poww(int a , int b){
    int times = 1;
    while(b){
        if(b & 1)
            times = times * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return times;
}

void init(){
    jc[0] = pow2[0] = 1;
    for(int i = 1 ; i <= 5e6 ; ++i)
        jc[i] = jc[i - 1] * i % MOD;
    inv[5000000] = poww(jc[5000000] , MOD - 2);
    for(int i = 5e6 - 1 ; i >= 0 ; --i)
        inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
    for(int i = 1 ; i <= 5e6 ; ++i)
        pow2[i] = pow2[i - 1] * 2 % MOD;
    shuf[0] = 1;
    shuf[1] = 0;
    for(int i = 2 ; i <= 5e6 ; ++i)
        shuf[i] = (shuf[i - 1] + 2 * (i - 1) * shuf[i - 2]) % MOD * 2 * i % MOD * (2 * i - 2) % MOD;
}

signed main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in","r",stdin);
    //freopen("out","w",stdout);
#endif
    init();
    for(int T = read() ; T ; --T){
        int N = read() , Q = read();
        printf("%lld\n" , jc[N] * inv[N - Q] % MOD * jc[N] % MOD * inv[Q] % MOD * inv[N - Q] % MOD * pow2[Q] % MOD * shuf[N - Q] % MOD);
    }
    return 0;
}
 

Luogu4921/4931 情侶？給我燒了！ 組合、遞推