目錄

• Sumdiv|同余|約數|拓展歐幾裏得算法
  • Problem
  • 分析
    • 約數個數定理部分
    • 約數和定理部分
    • 等比數列部分
    • 題目分析
    • 擴展歐幾裏得算法部分
  • Code

嘔，我吐了。

Sumdiv|同余|約數|拓展歐幾裏得算法

Problem

\[ 求A^{B}的所有約數之和 \ mod \ 9901\left(1\leqslant A,B \leqslant 5*10^{7}\right) \]

分析

約數個數定理部分

定理內容：

對於一個大於1的正整數n可以分解質因數：

則n的正約數個數為：

定理證明：

由約數定義可得,
\[ p_k^{a_k}的約數有\left(a_k+1\right)個。 \]

n的約數個數就是：

約數和定理部分

定理內容：

定理證明：

由約數個數定理和乘法原理可證。

等比數列部分

等比數列通項公式、求和公式

?

?

題目分析

把A分解質因數
\[ A=p_1^{c_1}\cdot p_2^{c_2}\cdot p_3^{c_3}\cdot ... \cdot p_n^{c_n} \]

根據約數和定理得
\[ S=\prod_{i=1}^{i=n}\left(\sum_{j=1}^{j=B\cdot C_n}\right) \]
每一項都是一個等比數列

根據等比數列求和公式：
\[ S=1+p_k+p_k^2+...+p_k^{B\cdot C_1}=\frac{p_k^{B\cdot c_k+1}-1}{p_k-1} \]

擴展歐幾裏得算法部分

可以先用快速冪計算分子
\[ \left(P_k^{B\cdot c_1+1}-1\right)mod\ 9901 \]
和分母
\[ \left(p_k-1\right)mod\ 9901 \]
因為9901是質數，只要pk-1不是6601的倍數，就只需pk-1的乘法逆元inv，用乘inv代替除以(pk-1)，直接計算出等比數列求和公式的結果。

特別地，若pk-1是9901的倍數，此時乘法逆元不存在，但pk mod 9901=1，所以
\[ 1+p_k+p_k^2+...+p_k^{B\cdot c_1}\equiv1+1+1^2+...+1^{B\cdot c_1}\equiv B\cdot c_1+1\left(mod\ 9901\right) \]

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod=9901;
ll a,b,m,ans=1;
ll p[20],c[20];
void divide(ll n){//分解質因數 
    m=0;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0){
            p[++m]=i,c[m]=0;
            while(n%i==0) n/=i,c[m]++;
        }
    if(n>1) p[++m]=n,c[m]=1;
}
ll power(ll a,ll b){
    ll c=1;
    while(b){
        if(b&1) c=(ll)c*a%mod;
        a=(ll)a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return c;
}
int main(){
    while(~scanf("%lld%lld",&a,&b)){
        ans=1;
        divide(a);
        for(ll i=1;i<=m;i++){
            if((p[i]-1)%mod==0){//沒有逆元，特判 
                ans=(b*c[i]+1)%mod*ans%mod;
                continue;
            }
            ll x=power(p[i],(ll)b*c[i]+1);//分子
            x=(x-1+mod)%mod;
            ll y=p[i]-1;//分母
            y=power(y,mod-2);//根據費馬小定理
            ans=(ll)ans*x%mod*y%mod; 
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

Sumdiv|同余|約數|拓展歐幾裏得算法