題目描述

傳送門

題目大意：一個口袋中裝有巧克力，巧克力的顏色有c種。現從口袋中取出一個巧克力，若取出的
巧克力與桌上已有巧克力顏色相同，則將兩個巧克力都取走，否則將取出的巧克力放在桌上。
設從口袋中取出每種顏色的巧克力的概率均等。求取出 n 個巧克力後桌面上剩餘 m 個巧克
力的概率。

題解

首先m的個數一定小於等於c，因為如果某種顏色的巧克力數量是大於等於2，那麼一定會兩個一對被取走，也就是最後剩下的每種巧克力要麼只有一個要麼沒有。如果(n-m)%2!=0，或者m>n,m>n，那麼概率一定為0.
那麼這個問題其實就可以用概率與期望DP來解決。
令f[i,j]表示取出i塊巧克力，恰好剩j塊的概率。
f

[i,j]=f[i−1][j−1]∗c−(j−1)c+f[i−1][j+1]∗j+1c
但是這樣做的時間複雜度太高了，那麼有沒有更高效的方法呢？其實是有的，那就是生成函式。
鑑於這是第一道生成函式的題，所以接下來先說明一些生成函式的預備知識。
指數型生成函式一般用來解決排列問題.定義一個序列{ai}的生成函式為

a0+a11!x+a22!x2+a33!x3+.......
指數型生成函式的常見形式
(1)序列<1,1,1,….,1> G(x)=1+x1!+x22!+x33!+..... 的指數型生成函式閉形式為ex
(2)序列<1,-1,1,-1,….> 的指數型生成函式閉形式為e

−x
(3)序列<1,0,1,0,1,….> 的指數型生成函式閉形式為ex+e−x2
(4)序列<0,1,0,1,0….> 的指數型生成函式閉形式為ex−e−x2
(5)設序列{an}{bn}的指數生成函式是A(x),B(x) ,則C(x)=A(x)B(x)=∑∞n=0cn∗xnn!,其中cn=∑∞k=0ak∗bn−k∗C(n,k)
(6)g(x)=C0m+C1mx+C2mx2+.....=(1+x)m

然後回到這道題的題目。這道題時間上就是讓m種顏色取奇數個，c-m種顏色取偶數個，求排列的個數。
根據上面的預備知識我們知道，奇數項指數生成函式為ex−e−x2,偶數項生成函式為e

x+e−x2,因此選m個奇數，c-m個偶數的指數生成函式為(ex−e−x)m(ex+e−x)c−m2c,由於哪m種顏色取奇數個是不確定的，所以方案數還要乘上Cmc,然後再除以總方案數cn就是概率。
本題的答案就是多項式(ex−e−x

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