矩陣快速冪在常係數線性遞推關係中的應用
先引入一下，知乎上有一個問題 關於斐波拉契數列的一個低階問題 。題主詢問了關於求解斐波拉契數列第n項對10007取模的結果。而這個n，可以達到
解法已經在排名第一的回答中給出了，主要思路就是快速冪和矩陣乘法的結合律，亦即矩陣快速冪。具體方法這裡也就不再給出。但可以依託此思想，拓展出在
另外要說明的一點是，這種方法僅適用於常係數線性遞推關係，即遞推關係
中，
這裡我們先考慮遞推關係為齊次遞推關係的情況，即忽略常數項b(令
中，如果令
其中， A矩陣為：
可以看出，
先引入一下，知乎上有一個問題 關於斐波拉契數列的一個低階問題 。題主詢問了關於求解斐波拉契數列第n項對10007取模的結果。而這個n，可以達到106甚至109 。
解法已經在排名第一的回答中給出了，主要思路就是快速冪和矩陣乘法的結合律，亦即矩陣快速冪。具體方法
最近兩場比賽，都涉及到此類問題！以前沒注意過這種問題，都在狀態轉移方程推出後，止步於n太大！事後總結，線性遞推可以用矩陣來表示，進而快速冪解決n太大的問題！
題意：n×m矩陣填黑白兩色， mat cpp matrix 有一個 rac 分析 eof rhs oid 題意:求$ [(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2n}] mod 1024 $
分析: 把指數的2帶入 原式等於 $ [(5+2\sqrt{6})^n] $
有一個重要的結論是n次運算後其結
一、開頭
（ WC2019 神犇協會） undefeatedKO ： NOI2017 的題大家都 AK 了嗎？ All ： AK 了！ ION ：我們穿越到 2019 年的 WC 怎麼樣？ olis ：好啊！聽說一個弱雞 xyz32768 要來 WC ，我們一到就把他 D 一遍，這樣他
（一）Fibonacci數列 f[n]=f[n-1]+f[n-2] , f[1]=f[2]=1 的第n項的快速求法（不考慮高精度）. 已知 f[0] = 0 , f[1] = f[2] = 1 , f[3] = 2 , f[4] = 3 , f[5] = 5 ……. f[n]=f[n-1]
題目大意
有一個1001×n1001×n的的網格，每個格子有qq的概率是安全的，1−q1−q的概率是危險的。
定義一個矩形是合法的當且僅當：
這個矩形中每個格子都是安全的
必須緊貼網格的下邊界
問你最大的合法子矩形大小
題目大意
一行有n個球，現在將這些球分成k 組，每組可以有一個球或相鄰兩個球。一個球只能在至多一個組中（可以不在任何組中）。求對於1≤k≤m的所有k分別有多少種分組方法。
答案對998244353取模。
n≤109,m<219
題解
常係數齊次線性遞推式
fk=∑i=1naifk−ifk=∑i=1naifk−i
形如上式的dpdp轉移式(ff表示dpdp狀態，aa表示轉移係數)即為常係數齊次線性遞推式。對於這樣的dpdp式，給定f1,2,..,k,a1,2,...,kf1,2,..,k, sca 組合數 矩陣 spl blank mage acm 組合 str 題目鏈接
題意 : 有種不同的字符，每種字符有無限個，要求用這k種字符構造兩個長度為n的字符串a和b，使得a串和b串的最長公共部分長度恰為m，問方案數
分析 :
直覺是DP
不過當時看到 n 很
斐波那契數列 f(0)=0; f(1)=1; f(n)=f(n-1)+f(n-2),n>1
從上面這個方程中我們可以看到很明顯的遞推關係，當n>1的時候很明顯發現會有一個關係式，但是實際上我們在做運算的時候，如果一步一步的按照遞推式計算，將會消耗大量的時間（最短 scan ems while href sca class stdin tdi %d HDU 2604 Queuing (遞推+矩陣快速冪)
這位作者講的不錯，可以看看他的
#include <cstdio>
#include <iostream 其中 sin 一位 strong DC net name 思路 eof 題目鏈接：
https://vjudge.net/problem/HDU-2604
題目大意：
n個人排隊，f表示女，m表示男，包含子串‘fmf’和‘fff’的序列為O隊列，否則為E隊列，有多少個序列為 esp over () n-1 告訴 matrix \n nbsp 答案 大致題意：讓你用1*2規格的地毯去鋪4*n規格的地面，告訴你n，問有多少種不同的方案使得地面恰好被鋪滿且地毯不重疊。答案對1000000007取模
遞推得f（n）=f（n-1）+5*f（n-2）+ scan efi stdio.h opened ans hide 最終 spl pen 題意：個n個方塊塗色， 只能塗紅黃藍綠四種顏色，求最終紅色和綠色都為偶數的方案數。
該題我們可以想到一個遞推式 。 設a[i]表示到第i個方塊為止紅綠是偶數的方案數， b[i]為紅綠
題目連結
Queuing Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(
Address
洛谷P3824 BZOJ4944 UOJ#316 LOJ#2304
Solution…
一、差分 容斥
要限制最大值恰好為一個定值往往是不好做的。 所以考慮容 (cha) 斥 (fen) ，把詢問
題目連結：https://cn.vjudge.net/contest/261339#problem/B
AC1：ans= x(n)+y(n)*sqrt(6),所以,ans=x(n)+y(n)*sqrt(6)+(x(n)-y(n)*sqrt(6))-(x(n)-y(n)*sqrt(6))=2* 題目連結：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5950
Farmer John likes to play mathematics games with his N cows. Recently, they are attracted by recursive 題目連結：傳送門
題目大意：
求斐波那契數列第n項F(n)。
（F(0) = 0, F(1) = 1, 0 ≤ n ≤ 109）
思路：
用矩陣乘法加速遞推。
演算法競賽進階指南的模板：
#include <iostream>
#include &l 相關推薦
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