矩陣的基本概念

假設 aij∈R, 其中 i=1,2,...,m; j=1,2,...,n. 我們定義如下的行列式：

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn⎤⎦⎥⎥⎥⎥
是一個維數為 m×n 的實數矩陣。有時候我們會用如下的表示式來表示一個矩陣：
A=[aij],i=1,2,...,m;j=1,2,...,n
這表示一個m行n列的矩陣，下標的第一個數i表示行，第二個數j表示列。
列向量定義： 一個向量可以看成是隻有一列的矩陣，所以，這裡討論的所有向量都預設為列向量。
符號定義： 矩陣用大寫的粗體字母表示，比如矩陣A,B,X, 而向量用小寫的粗體字母表示，比如向量a

,b,x.
矩陣的轉置： 矩陣A的轉置為AT.
矩陣的逆： 如果一個矩陣A存在逆矩陣，則該逆矩陣表示為A−1.
矩陣的 determinant: 如果一個矩陣A是一個方陣，則它的determinant表示為|A|
單位矩陣表示為 I, 零矩陣或空矩陣表示為0。
矩陣的跡： 如果一個矩陣是 n×n 的方陣，則該矩陣的跡(trace) 為 trA=∑ni=1aii， 等於所有主對角線元素之和，一個實數的跡是它本身，
矩陣的跡滿足下列關係：
trAT=trAtrAB=trBAtrABC=trCAB=trBCA

矩陣的乘法

設 A 是一個 m×n 的矩陣，B 是一個 n×p的矩陣, 則兩者的乘積A

B 表示為：

C=AB
其中 C 是一個 m×p 的矩陣，C 中的任意一個元素 cij 表示為：
cij=∑k=1naikbkji=1,2,...,m;j=1,2,...,n
類似的，一個m×n 的矩陣 A 與一個n×1 的列向量 x相乘, 等於
z=Axzi

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