【MOOC】數字訊號處理-電子科技大學-第二週
2.1連續時間訊號的取樣
Concepts of sampling
取樣（sampling）：指把時間域或空間域的連續量轉化成離散量的過程。
取樣流程
實際的連續時間訊號的數字化處理過程：
將上述過程的一些部分理想化後，可得 理想的連續時間訊號的數字化處理過程：
如何取樣
簡單來說，取樣就是通過一定的“節拍”，有規律地取連續訊號的一些離散的點的過程。下圖所示的是 用Ts的取樣間隔來對連續時間訊號x(t)進行取樣得到離散時間訊號x[n]的過程。
更為專業地描述為：
注：在實際電路中，可通過 使用電流脈衝δ(t)對電容器充電 來使得
在數學上，則可這樣描述：
而若使用不同的取樣間隔，得到的離散時間訊號也是不同的：
可以看到，取樣點較為密集的可更準確地反映原訊號的“分佈”規律。那麼，自然就有一個問題，如何選取取樣頻率呢？在回答這個問題之前，我們得先分析一下采樣之後，訊號在頻域上的變化。
Effect of frequency domain
由《訊號與系統》的知識可以知道：訊號在時域為離散的，則在頻域為連續週期的；在時域的乘積等價於頻域的卷積。
那麼，則有：
當取樣角頻率大於等於兩倍的原型號的角頻率時：
可看到，在頻域上，取樣得到的訊號是原訊號的“週期化”，訊號沒有發生重疊現象。
而當取樣角頻率小於兩倍的原型號的角頻率時：
可看到，訊號發生了重疊的現象。下面引入奈奎斯特定理來解決該問題。
Sampling (Nyquist) theory
要使得采樣後的訊號沒有出現重疊現象，取樣角頻率需滿足：
這也是為什麼在剛開始介紹的取樣流程時，在實際取樣之前，需先讓訊號通過一個抗混疊濾波器的原因，該濾波器的最高角頻率被約束在了
Frequency Terms
這裡給出常用的一些符號的說明。當對某些符號的意思不明白時可來查詢該表。
| 符號 | 名稱 | 單位 |
|---|---|---|
| f | frequency(頻率) | Hz, cycles/sec |
| Ω (= 2πf) | angular frequency(角頻率) | rad./sec |
| Fs | sampling frequency(取樣頻率) | Hz, sample/sec |
| Ts (= 1/Fs) | sampling interval(取樣間隔) | Sec., sec./sample |
| ω (= ΩTs) | (normalized)digital angular frequency(數字化角頻率) | rad./sample |
Example
考慮一個3HZ的訊號：
對其進行取樣，取樣頻率Fs = 10 Hz（即Ts = 0.1s），可得：
兩者在時域的影象為：
在頻域的影象為：
測驗題
注：第二題中，取樣頻率f要滿足：f>x(t)訊號的最大頻率的2倍
課堂討論題
訊號從連續變為離散的現象是如何產生和實現的？
討論要求：
（1）訊號從連續變為離散時域是如何實現的？請用表示式進行說明。
（2）訊號從連續變為離散頻域會發生什麼變化？請推導這種變化產生的原因。
（3）根據第（2）中得出的結論，說明取樣頻率的選取原則。
2.2離散時間訊號
Basic discrete signals
Basic operations
Elementary Operations
Combination of Elementary Operations
測驗題
2.3連續時間訊號的恢復
訊號可恢復的條件：滿足奎奈斯特定理
訊號取樣與恢復的流程大致如下：
原訊號被取樣後送至低通濾波器，得到恢復的訊號。
這裡需要關注的就是：低通濾波器所起的作用：取樣得到的離散訊號在頻域上是連續週期的，使用低通濾波器就可得到一個週期內訊號在頻域的取值，根據單個週期的頻域值利用 傅立葉反變換 就可得到原來的連續訊號。（需仔細理解該圖中箭頭的含義）
對於低通濾波器對應的系統函式，可得到其在時域上的表示式為：
這就是有名的 抽樣函式。
時域和頻域的影象如下：
從圖中可以看到，對於hr(t)，對於t=n*Ts，當且僅當n=0，即t=0時，hr(t)才為1，當n取其他值時，hr(t)=0。對應下面的公式，當t=n*Ts時t-n*Ts才為0，即是說在當前取樣點上的值為1，在其他取樣帶點上的值為0。（實際上，這類訊號也被稱為 內插訊號，因此 訊號恢復過程即是內插過程）
訊號恢復的示意過程：
當n=0:
當n=-1、0、1：
當n=-2、-1、0、1、2：
當n的範圍增大
再增大
可以看到，對於n從負無窮到正無窮，內插的結果會逼近原訊號。這便是訊號恢復的過程。
下面就訊號可恢復的條件（滿足奎奈斯特定理）舉個例子。
假設有如下3個訊號：
以 Fs = 10 Hz, 即Ts =0.1s進行取樣，得到：
可以發現，三者取樣後得到的點的結果是一樣的。
在頻域上可以發現，後面兩個訊號不滿足奎奈斯特定理。
2.4 ADC中的有限字長效應
暫略