最小二乘估計
已知變數X和Y為線性關係(這裡XY均為nx1的列向量),為了得知X和Y到底具有怎樣的線性關係(也即求解X的係數),如果這是一個工程問題,我們解決這一問題的方法就是對X和Y進行取樣,獲得很多組樣本,然後就能求解出係數了,按照線代的理論,係數矩陣為nxn方陣,且秩為n時,方程具有唯一解,如果取樣點過多,也即方程的數目多於未知數的數目,則方程組無解,這時只能求出一個近似解,以不同的目的獲得的近似解是不同的,如果為了使方程左右兩邊的誤差的平方和最小,而獲得的近似解,就是最小二乘解。這個問題的證明在研究生的矩陣分析引論數學課上學過,現在也忘光了。
例子:假設變數y是n個變數xi的線性組合,求係數。
設方程為
為了計算出係數a1、a2、···an的值,我們至少需要n次X、Y的取樣值,形如:
這樣就能求解出係數a1、a2、···an的值了,如果取樣樣本不止n個,而是多於n個,也不要緊,雖然會會造成方程組無解,但是可以求出最小二乘解。
把方程組寫成矩陣形式為:
XA=Y (式2)
至此,就求出了所有的係數ai
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