1 四元數

在我們能夠完全理解四元數之前，我們必須先知道四元數是怎麼來的。四元數的根源其實是複數。

四元數的概念是由愛爾蘭數學家Sir William Rowan Hamilton發明的, 公式是：

i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1

`一般表示式`：

q = w + x i + y j + z k

`性質`：

| q |^{2} = w^{2} + x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

其中：i，j，k都是複數。並且通過公式：

i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k

可以推出：

i j = k

j k = i

k i = j

通過公式：

i j k = - 1

i^{- 1} = - i

j^{- 1} = - j

k^{- 1} = - k

可以推出：

j i = - k

k j = - i

i k = - j

你可能已經注意到了，`i、j、k`之間的`關係`非常像`笛卡爾座標系下` `單位向量的叉積`規則：

\vec{x} \times \vec{y} = \vec{z} ⟶ \vec{y} \times \vec{x} = - \vec{z}

\vec{y} \times \vec{z} = \vec{x} ⟶ \vec{z} \times \vec{y} = - \vec{x}

\vec{z} \times \vec{x} = \vec{y} ⟶ \vec{x} \times \vec{z} = - \vec{y}

Hamilton自己也發現i、j、k虛數，可以被用來表達3個笛卡爾座標系的`單位向量`i、j、k，並且仍然保持有虛數的性質，也即：

i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1

。

`向量差乘`即`向量積`可以被定義為：

| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin θ

math: 四元數與尤拉角（RPY角）的相互轉換