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【BZOJ2839】集合計數，容斥原理

阿新 • • 發佈：2019-02-04

傳送門(許可權題)
題面：
一個有N個元素的集合有2^N個不同子集（包含空集），現在要在這2^N個集合中取出若干集合（至少一個），使得
它們的交集的元素個數為K，求取法的方案數，答案模1000000007。

吐槽一下，不知道為什麼網上的題解都沒有超過10行的。。
應該是我太弱了吧，連這種題都不會做
初學容斥原理，把之前做過但並不理解的容斥原理題目又複習了一下，然後來做這道題
之前看到的一些例題都是求“至少為…”的答案，直接套容斥的最初形式就可以了，這道題是”恰好為…“的答案，然而我的一般化容斥形式用的並不熟練……
受3622的影響，寫了一個O(n2)的暴力，遞推恰好為i的方案數，然後Cin×(2

2n−i−1)減去i在大於i的方案數就可以了
f(i)=Cin×(22n−i−1)−∑j=i+1nCijf(j)
然後我就想做字首和啥的來優化一下，但化了半天式子發現通過乘除係數和加減常數來算
換一種思路，聰哥讓我從方程組係數的角度看待容斥原理
容易發現這個式子Cin×(22n−i−1)對交集恰好為j的方案計算了Cij次
我們先考慮i=k的情況，
i=k⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪交集大小為k計算的次數交集大小為k+1計算的次數交集大小為k+2計算的次數交集大小為k+3計算的次數...交集大小為n計算的次數CkkCkk+1Ckk+2Ckk+3Ckn
此時交集大小為k的方案數恰好都被計算了一次，所以就考慮i
=k+1，我們要把它的計算次數Ckk+1消去，同時它也會對下面的k+2,k+3…n產生影響,就是這個樣子
i=k+1⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪交集大小為k計算的次數交集大小為k+1計算的次數交集大小為k+2計算的次數交集大小為k+3計算的次數...交集大小<

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